Был ли Бог математиком? Галопом по божественной Вселенной с калькулятором, штангенциркулем и таблицами Брадиса - Марио Ливио

Мораль ясна. Математические инструменты выбирались не произвольно, а вполне целенаправленно – исходя из того, насколько точно они способны предсказывать результаты тех или иных экспериментов и наблюдений. Так что, по крайней мере, в этом случае, очень простом, их эффективность, в сущности, гарантирована.

Людям не надо было заранее гадать, какой будет точная математика. Природа щедро дала им возможность определять, что им подходит, а что нет, методом проб и ошибок. Еще им не нужно было во всех случаях обходиться одними и теми же инструментами. Иногда оказывалось, что подходящего математического метода для той или иной задачи не существует, и кому-то приходилось его изобретать (как Ньютон изобрел интегральное и дифференциальное исчисление или современные математики изобрели множество топологических и геометрических приемов в рамках нынешней работы над теорией струн). А иногда метод уже существовал, но предстояло еще открыть, что это готовое решение, которое дожидается подходящей задачи (как в случае, когда Эйнштейн прибег к помощи римановой геометрии или физики-ядерщики – к теории групп). Все дело в том, что пылкое воображение, непоколебимое упорство, неуемное любопытство и пламенная целеустремленность позволили людям найти подходящие математические методы для моделирования огромного количества физических феноменов. Среди прочих качеств математики главным для так называемой «пассивной» эффективности оказалась ее надежность – все, что доказано, остается доказанным практически навечно. Евклидова геометрия в наши дни точно так же точна, как и в 300 году до н. э. Теперь мы понимаем, что без ее аксиом можно обойтись, и что это не абсолютные истины, описывающие пространство, а истины, описывающие определенную вселенную, воспринимаемую человеком, и математическую модель этой Вселенной, изобретенную человеком. Тем не менее, в заданных рамках все теоремы Евклида остаются истинными. Иначе говоря, отдельные ветви математики еще надо встроить в более крупные и обобщенные ветви (в частности, евклидова геометрия – всего лишь одна из возможных версий геометрии), однако корректность в пределах одной ветви сохраняется. И эта неопределенная долговечность позволяла ученым всех эпох искать подходящие математические инструменты в накопившемся арсенале разработанных математических методов и моделей.

Простой пример с шариками в кувшине все же не затрагивает двух составляющих загадки Вигнера. Во-первых, остается неясным, почему в некоторых случаях мы получаем теорию куда большей точности, чем была в нее заложена. В эксперименте с шариками точность «предсказанного» результата (накопление другого количества шариков) не выше, чем точность экспериментов, которые ранее привели к формулировке «теории» (арифметического сложения). С другой стороны, ньютонова теория всемирного тяготения, как оказалось, гораздо точнее, чем результаты наблюдений, которые привели к ее созданию. Почему? Некоторое представление об этом может дать краткий пересмотр истории создания этой теории.

Геоцентрическая модель Птолемея безраздельно правила почти полторы тысячи лет. Ни на какую универсальность она не претендовала, движение каждой планеты рассматривалось отдельно, а о физических его причинах (силе, ускорении) не упоминалось, однако результаты наблюдений она предсказывала достаточно надежно. Николай Коперник (1473–1543) в 1534 году обнародовал гелиоцентрическую модель, а Галилей, так сказать, подвел под нее твердый фундамент. Кроме того, Галилей заложил основу законов движения. Но только Кеплер вывел из наблюдательных данных первые математические, пусть и чисто феноменологические законы движения планет. Кеплер рассчитал орбиту Марса на основании огромного количества данных, которые достались ему в наследство от астронома Тихо Браге[168]. Сотни страниц математических выкладок, которые ему для этого потребовались, он назвал «моей битвой с Марсом». Всем наблюдениям вполне соответствовала круглая орбита – за исключением двух отклонений. Однако Кеплера это решение не устроило, и впоследствии он так описывал ход своих мыслей: «Если бы я считал, что мы можем пренебречь этими восемью минутами [угловыми, это примерно четверть поперечника полной луны], то подправил бы свою гипотезу… соответственным образом. Однако, поскольку отбросить их было невозможно, эти восемь минут и только они подтолкнули меня на путь полной реформы астрономии». Последствия этой дотошности были просто поразительны. Кеплер предположил, что орбиты планет не круглые, а эллиптические, и сформулировал два дополнительных количественных закона, которые действуют для всех планет. Эти законы вкупе с ньютоновыми законами движения и стали основой для закона всемирного тяготения Ньютона. Однако вспомним, что Декарт за это время успел выдвинуть теорию вихрей, согласно которой планеты влекомы вокруг Солнца вихрями кружащихся частиц. Эта теория к особым достижениям не привела – даже до того, как Ньютон доказал, что она противоречива, – поскольку систематических математических моделей для своих вихрей Декарт не разработал.

Чему нас учит этот краткий рассказ? Нет никаких сомнений, что закон всемирного тяготения Ньютона – это плод работы гениального ума. Однако этот гений трудился не в вакууме. Некоторые основы были старательно заложены его предшественниками. Как я отметил в главе 4, даже ученые куда меньшего калибра, чем Ньютон, в частности архитектор Кристофер Рен и физик Роберт Гук, независимо сформулировали закон притяжения, обратно пропорционального квадрату расстояния. Величие Ньютона проявилось в его непревзойденной способности объединить это все в универсальную теорию и в упорстве, с которым он разработал математическое доказательство всех следствий из своей теории. Почему эта модель оказалась такой точной? Отчасти потому, что решала самую фундаментальную задачу – о силе притяжения между двумя телами и их результирующем движении. И больше никаких осложняющих факторов. Ньютон получил полное решение этой задачи – и только ее. Именно поэтому фундаментальная теория оказалась крайне точной, однако следствия из нее должны были постоянно уточняться.

В Солнечной системе тел не два, а больше. Если учитывать влияние других планет (опять же в соответствии с законом обратных квадратов), то орбиты перестают быть простыми эллипсами. Например, оказалось, что орбита Земли медленно меняет положение в пространстве – это движение называется прецессия, именно так перемещается ось вращающегося волчка. Более того, современные исследования показали, что, вопреки ожиданиям Лапласа, орбиты планет в конечном итоге могут даже впасть в хаос (подробнее об этом см. Lecar et al. 2001).

Фундаментальная теория Ньютона впоследствии, разумеется, была включена в общую теорию относительности Эйнштейна. И появлению этой теории также предшествовала череда промахов и фальстартов. Так что предсказать точность той или иной теории невозможно. Не проверишь – не узнаешь, и нужно постоянно делать поправки и уточнения, пока не достигнешь желаемой точности. Те несколько случаев, когда невероятная точность достигалась за один шаг, следует считать настоящими чудесами.