Удивительные числа Вселенной - Антонио Падилья

что физиков смущают маленькие числа, связанные с космологической постоянной, бозоном Хиггса, нашей безнадежно неожиданной Вселенной. Но, может быть, нам не следует смущаться. Может быть, лучше праздновать. В конце концов, крохотный бозон Хиггса и крохотная космологическая постоянная пытаются сообщить нам что-то важное о ткани нашего физического мира. Что бы это могло быть? Какова фундаментальная физика, которая приводит их к таким крошечным значениям? Какая-то неизвестная симметрия? Предвидение, как при секвестрации энергии вакуума? Существование самой жизни, как в антропном принципе? Не знаю. Могу только сказать, что эти ничтожные цифры — портал к открытиям. Однажды мы выясним, что они пытаются нам сообщить, благодаря силе наших математических методов, в которых мы опираемся на непротиворечивость наших идей, и силе наших экспериментов, в которых мы заглядываем все дальше в неожиданный мир.

Бесконечность

Боги бесконечности

Георг Кантор сильно похудел, пальто тяжело свисало с немощного тела. Лицо стало невыразительным. Когда-то он был яркой и внушительной фигурой, которой придавали силу интеллект и стремление к собственной математической мечте. Однако на последней сохранившейся фотографии, сделанной в Галле в 1917 году, это незаметно. К тому времени уже три долгих года бушевала Первая мировая война, немецкий народ голодал. В стране был неурожай, а военные корабли союзников не давали импортировать продовольствие. Некоторым немцам удавалось пополнять свой рацион за счет сельского хозяйства или черного рынка. Но не Кантору. После маниакальной депрессии его поместили в психиатрическую клинику — Nervenklinik в Галле. Поскольку продовольственные пайки в немецких учреждениях составляли вдвое меньше нормы, а уровень смертности удвоился, он постоянно писал жене, умоляя забрать его домой. Она не могла исполнить это желание, и 6 января 1918 года Георг Кантор, ослабленный недоеданием, умер от сердечного приступа.

Последние годы Кантора были осложнены психическими заболеваниями, личной трагедией и профессиональным истощением. Но, несмотря на пережитые падения, он поднялся выше всех. Он осмелился вообразить невообразимое, достигнув небес, чтобы посмотреть на небесные числа — бесконечности. Кантор увидел не только бесконечность на краю царства конечных чисел, но и более высокие, находящиеся далеко за пределами земного понимания. Благодаря его идеям мы теперь знаем, что существуют бесконечности, которые настолько велики, что математически недоступны для других, меньших. Другими словами, за царствами бесконечности лежат другие царства бесконечности.

Чаще всего бесконечность изображается в виде «пьяной» восьмерки ∞, лежащей на боку после того, как перебрала. Этот символ ввел в 1655 году англичанин Джон Валлис; иногда его называют лемнискатой, что означает «ленты»[152]. Но эта конкретная бесконечность — не число, она представляет собой границу, идею вечного продолжения, ad infinitum[153], предел, который вы можете надеяться когда-нибудь достичь. Но, как показал Кантор, бесконечные числа существуют, и их бесконечно много. Они так же реальны, как пять, сорок два или даже гугол. Просто они существуют не в конечном мире — они трансфинитны. Это чудовищные алефы и могучие омеги, и есть даже число под названием йети.

Начнем с нескольких вопросов.

Знаете ли вы, что четных чисел столько же, сколько целых?

Знаете ли вы, что между нулем и единицей столько же действительных чисел, сколько между нулем и TREE(3)?

И знаете ли вы, что на окружности столько же точек, сколько в круге внутри ее?

Когда речь идет о бесконечности, интуитивная ясность редка. Это, безусловно, справедливо по отношению к отелю Гильберта, названному в честь великого немецкого математика Давида Гильберта, который предложил эту идею более века назад. В отеле Гильберта есть бесконечное количество номеров, а это означает, что, даже когда он полон, управляющий может принять столько новых гостей, сколько ему понадобится. Чтобы понять, как он это делает, пронумеруем комнаты: 1, 2, 3 и так далее до бесконечности. Когда появляется новый гость, управляющему нужно всего лишь переместить всех жильцов отеля в комнату со следующим номером: семья из комнаты номер 1 переезжает в комнату номер 2, пара из комнаты 2 переезжает в комнату 3, бизнесмен из комнаты 3 переезжает в комнату 4 и т. д. Из-за бесконечности числа комнат этот процесс никогда не прервется, все старые жильцы останутся в отеле, а новый гость может поселиться в комнату 1, которая освободилась в начале этой цепочки. Управляющий не станет паниковать, даже если столкнется с бесконечным количеством новых гостей. Он просто переведет всех в комнаты с удвоенным номером. Старые посетители теперь занимают комнаты с четными номерами, а комнаты с нечетными освободились для новых гостей. В отеле Гильберта всегда есть места.

По собственному признанию, Давид Гильберт был «скучным и глупым мальчиком», который не производил впечатления в школе; однако он стал одним из самых влиятельных мыслителей в новейшей истории. Его работы легли в основу большей части современной математики и физики — от логики и теории доказательств до теории относительности и квантовой механики. Но, возможно, больше всего он известен благодаря опубликованному им в 1900 году списку из двадцати трех нерешенных математических задач, который оказал огромное влияние на исследования последнего столетия. Первая из задач, гипотеза континуума, — это проблема бесконечности, первоначально предложенная Кантором. На сегодня только восемь задач Гильберта имеют решения, которые полностью приняты математическим сообществом. Как мы увидим позже, гипотеза континуума в их число не входит.

Первые письменные упоминания о бесконечности восходят к VI веку до нашей эры — к Древней Греции и философским трудам Анаксимандра. Анаксимандр — представитель милетской школы, который, возможно, обучал Пифагора[154]. Хотя большая часть его трудов с годами была утеряна, в нескольких сохранившихся фрагментах он говорит о бесконечности как об апейроне. Слово апейрон (ἄπειρον) буквально переводится как «бесконечное, беспредельное». Анаксимандр пытался понять происхождение всех вещей. Он представлял себе апейрон бесконечным и неистощимым супом, из которого все рождается и куда возвращается после окончательного разрушения. Для древних греков это казалось не красотой, а хаосом. Это были не небеса, а бездна.

Бесконечность и ее бесконечно малый родственник лежат в основе парадоксов Зенона Элейского. Возможно, вы помните Зенона — философа, организовавшего заговор против тиранического правления Неарха. Его схватили и убили, но он успел откусить часть тирана, которого отчаянно пытался свергнуть. В главе «Ноль» мы обсуждали парадокс Зенона об Ахиллесе и черепахе, когда быстроногий воин не может обогнать медленно двигающуюся рептилию. В другом парадоксе, так называемой дихотомии, Зенон задает очень простой вопрос: как вы вообще пересекаете комнату? На первый взгляд вопрос кажется абсурдным, но философ предложил рассуждение, бросающее вызов нашим повседневным иллюзиям. Представьте то место, где вы сидите и читаете эту книгу. Чтобы выйти из комнаты, вы должны сначала достичь середины пути