Удивительные числа Вселенной - Антонио Падилья

alt="" src="images/i_077.jpg"/> . Чтобы получить  + 1, мы добавляем еще одну уточку, предположим белую. Неважно, куда мы ее поместим, — например, поставим в начало и сдвинем всех остальных на 1:

Сколько у нас сейчас уток? Каждой соответствует какое-то целое число, так что их должно быть

. Иными словами, получается, что  + 1 = . Странно. Как насчет  + ? Для этого мы возьмем два бесконечных множества уток, каждое размером , но на этот раз пометим одно из них четными номерами:

а другое — нечетными:

Объединим два множества:

и получим, что

 +  = . Все это немного странно. Мы видим то, чего не бывает с конечными числами. Но почему так? Потому что мы сейчас находимся в царстве бесконечности.

Я обещал вам больше бесконечностей, но, похоже, мы никак не можем пробиться через

. Чтобы шагнуть дальше, нам сначала нужно определить некоторый порядок. До сих пор наши множества были организованы свободным образом. Например, мы говорили, что Beatles задаются множеством {Джон, Пол, Джордж, Ринго}; однако можно предположить, что их задает также и {Джон, Джордж, Пол, Ринго}. Никакой разницы, верно? Не обязательно. Все зависит от того, вводим ли мы какой-то порядок, придаем ли значение тому месту, где в множестве появляется каждый музыкант. В следующей версии множества — {Джон, Джордж, Пол, Ринго} — музыканты расположены в алфавитном порядке. Вы можете даже сказать, что и в первом варианте они были упорядочены — по таланту, хотя этот вопрос очень спорный (особенно для моей жены, которая утверждает, что Ринго — лучший, потому что он озвучивал мультфильм «Паровозик Томас»).

В тот момент, когда мы начинаем думать о порядке, мы меняем правила игры и числа могут приобретать дополнительный смысл. Рассмотрим число 4. Мы знаем, что можем думать о нем как о кардинальном числе, сообщающем нам, например, сколько было битлов. Однако мы также можем думать о нем как о ярлыке для четвертого места. В случае с Beatles мы могли бы напрямую связать его с Ринго, потому что он стоит четвертым по алфавиту. Когда мы делаем это, мы думаем о 4 как о порядковом числе (ординальном числе, или ординале): в этом случае нас заботит его положение на конвейерной ленте натуральных чисел. Разница между ординальными и кардинальными числами не особо важна, пока вы не выйдете за пределы царства конечности и не начнете играть с бесконечностью.

Удобный способ определить ординальное число — использовать множества. Мы касались этого в главе «Ноль». Мы начинаем с того, что под нулем подразумеваем пустое множество, единица — это множество, содержащее 0, двойка — множество, содержащее 0 и 1, тройка — {0, 1, 2} и т. д. На самом деле каждый ординал определяется как множество предшествующих ординалов, то есть n + 1 = {0, 1, 2, 3, …n}. Все это здорово, но как это приведет нас к бесконечности и дальше? Чтобы достичь бесконечности, нам нужно определить ординальное число, которое находится на один шаг дальше всех конечных ординалов. Для этого Кантору понадобились новое название и новый символ. Он черпал вдохновение в божественности своего поиска: «Я есмь Альфа и Омега».

Кардинальную бесконечность он обозначал алефом, а первой из его ординальных бесконечностей стала омега — ω. Если каждый конечный ординал определяется по правилу n + 1 = {0, 1, 2, 3, …n}, то естественно определить ω как бесконечный предел:

ω = {0, 1, 2, 3…}.

Иными словами, первая из наших ординальных бесконечностей есть не что иное, как множество натуральных чисел!

Берем еще выше.

Что идет после ω? Конечно, ω + 1. Если мы последуем выбранному правилу, это число, как и выше, определяется как множество ординалов, — иными словами, это множество натуральных чисел с вишенкой-омегой сверху:

ω + 1 = {0, 1, 2. 3 …; ω}.

Мы использовали точку с запятой, чтобы указать границу между бесконечным списком конечных вкладов 0, 1, 2, 3… и трансфинитным вкладом от ω. Но это всего лишь обозначения, которые не особо важны. Важно то, что ω + 1 — не то же самое, что ω. Причина в том, что для ординалов важен порядок. Чтобы лучше понять это, вернемся к нашим уточкам, только теперь представим, что это настоящие утки и они соревнуются:

Черная уточка финиширует первой и немного раздражена тем, что ее наградили нулем. Впрочем, ноль — первое из натуральных чисел, так что особо жаловаться ей не стоит. Клетчатая уточка заканчивает гонку второй и получает второе натуральное число (1), полосатая занимает третье место и получает третье натуральное число (2) и т. д. Многоточия указывают на то, что в гонке участвует бесконечное количество уток и каждой из них присваивают какое-то натуральное число. Теперь предположим, что проводится другая гонка, в которой на одного участника больше: добавляется белая утка. Она довольно медлительна и пересекает финишную черту, когда все остальные уже закончили гонку. Картина выглядит примерно так:

Когда мы добавляли белую утку в нашем предыдущем рассуждении, нас не заботил порядок, поэтому мы просто посадили ее рядом с черной и передвинули всех остальных на единицу. В итоге мы показали, что

 + 1 = . Но теперь нам важен порядок, ведь это соревнование! Белая утка финишировала последней, позади всех остальных, так что ее нельзя просто поставить впереди. Какое число мы должны ей присвоить? Это не может быть ни одно из натуральных чисел, потому что все они израсходованы; следовательно, это должно быть следующее число из списка, то есть ω. Поскольку порядок имеет значение, ясно, что две наши гонки весьма различаются. Множество натуральных чисел — не то же самое, что множество натуральных чисел с вишенкой-омегой сверху, иными словами, ω + 1 — не то же самое, что ω.

Мы можем продолжить восхождение. После ω + 1