Пиксель. История одной точки - Элви Рэй Смит

теперь вы все будете использовать мой метод». Но он сказал нам, что решил поступить иначе. Построив машину, с помощью которой можно было изготавливать модели кузовных панелей, он как будто просто оставил ее. У него работали один или два звездных дизайнера, которые в принципе проявили любопытство, но сомневались в ее необходимости. Он научил их ею пользоваться. Некоторые из них даже согласились поработать с ней. Он сказал: «Однажды утром я пришел на работу, а на полу перед моей дверью стояла красивая деревянная скульптура [см. рис. 6.21], и именно тогда я понял, что выиграл битву. Потому что так можно творить искусство». Это и есть путь внедрения новых технологий. Вы не заставляете людей. Вы позволяете им найти в этом что-то интересное для себя и делать разные вещи, а затем они делают что-то, а вы думаете: «Как, черт возьми, они сделали это с помощью моей системы? Я не знаю!» В этом и есть прелесть такой работы.

В конце жизни Безье занялся серьезными академическими исследованиями. Через пару лет после выхода на пенсию в 1975 году он получил докторскую степень по математике в Парижском университете. Он умер в 1999-м, немного не дожив до начала нового тысячелетия и пережив Кунса на 20 лет.

Рис. 6.21

Siggraph — ежегодная конференция по компьютерной графике — в 1985 году присудила ему вторую в истории премию Кунса (первой в 1983-м отмечен один из прямых интеллектуальных наследников Кунса Айвен Сазерленд). Премии Безье в иллюстративной компьютерной графике нет, но существует премия Безье в области автоматизированного проектирования (вручается Ассоциацией твердотельного моделирования).

Поль де Кастельжо: невоспетый герой

Поэтому в моей голове зашевелилась идея математически обработать формы кузова автомобиля… Это было либо абсолютным легкомыслием, чтобы не назвать сумасшествием, либо же феноменальной выходкой. Это чистая правда, что во французском слове carrosserie, которое означает «кузов автомобиля», есть rosserie (rosserie переводится как «гадость»)!

— Поль де Кастельжо о себе

Поль де Фаже де Кастельжо был еще одним французским отцом-основателем (рис. 6.22). Как и Безье, он также работал в автомобильной промышленности и обладал самоуничижительным чувством юмора. В 1958 году в Citroën он создал математические системы для проектирования автомобилей, которые очень напоминали чуть более позднюю разработку Безье для Renault. В отличие от Безье, о нем часто забывают, хотя сам Безье отдавал ему приоритет. К несчастью для де Кастельжо, Citroën не разрешал ему публиковать результаты своих трудов вплоть до 1974 года. К тому времени кривые, созданные де Кастельжо и Безье независимо друг от друга, уже получили имя последнего, да так ими и остались — снова сработал закон Стиглера. По иронии судьбы, в 2012 году де Кастельжо стал лауреатом премии Безье в области автоматизированного проектирования.

Больше форм: кривые Безье (или де Кастельжо)

И Безье, и де Кастельжо рассматривали компьютер как способ повысить эффективность производства автомобилей. Они разработали, по-видимому, независимо друг от друга математику другого способа представления поверхностей — лоскут, или патч, Безье. Это были не лоскуты Кунса, но нечто похожее на них в том смысле, что их тоже можно было аккуратно скрепить краями, сделать, так сказать, лоскутное одеяло, образуя сложные поверхности. Патчи Безье — это еще один способ моделирования поверхностей, которые затем разделяются на полигоны и треугольники для последующего рендеринга на дисплее.

Здесь важна не математика Безье (или де Кастельжо), а интуиция. Вспомните демонстрацию для Рави Шанкара и то, как горизонтальные и вертикальные координаты точек, полученных с планшета, соединились с помощью разбрасывателя, имеющего два отрицательных «лепестка», для получения сплайна. Он назывался разбрасывателем Катмулла — Рома (с. 328, рис. 6.7, внизу). Если вместо него мы воспользуемся разбрасывателем без отрицательных лепестков (рис. 6.23), то получим более гладкий сплайн. Специалисты в области компьютерной графики называют его (довольно простовато для такой красивой кривой) B-сплайном — где B означает «основа» (basis), но в остальном это название совершенно неинформативно.

Рис. 6.22

На рисунке 6.24 показаны два сплайна. Оба основаны на одних и тех же точках, полученных с планшета во время демонстрации для Рави Шанкара. Хотя вам, вероятно, придется напрячься, чтобы заметить различия, кривая справа более изящна, чем левая. Дело в том, что она проходит рядом с точками, а не через них. Следовательно, перед нами аппроксимирующий сплайн, а не интерполирующий.

Безье и/или де Кастельжо подарил(и) нам кривую, в которой есть и то и другое, хотя он(и) так не думал(и). На рисунке 6.25 показаны две кривые Безье — одна, соединяющая крайнюю левую точку со средней, и вторая, соединяющая среднюю точку с крайней правой. В Adobe Illustrator и Photoshop есть специальный инструмент (перо) для создания плавных кривых из таких сегментов Безье. Дизайнер начинает, скажем, с крайней левой точки и рисует линию, показанную здесь пунктиром, — задает кривой нужный наклон в этой точке. Мы называем ее касательной линией. Дизайнеры контролируют угол наклона, вращая касательную (пунктирную) линию и используя заданную точку в качестве центра поворота. Они контролируют жесткость кривой, удлиняя или укорачивая касательную линию, перемещая точку вне кривой внутрь или наружу.

Левая кривая на рисунке 6.25 создана в результате поворота двух касательных линий — одной для крайней левой точки и одной для средней — и масштабирования их длины. Правая кривая создана аналогичным образом.

Рис. 6.23

Во всех случаях наклон пунктирной касательной совпадает с наклоном кривой, проходящей через их общую точку. Кривые Безье обычно соединяются вместе для большей изящности следующим образом: касательная для первой точки второй кривой — это просто продолжение касательной для последней точки первой кривой. Она такой же длины и наклонена под тем же углом, но в противоположном направлении.

Рис. 6.24

Рис. 6.25

Безье описал бы этот процесс как интерполяцию крайней левой, средней и крайней правой точек с использованием четырех касательных линий. Но математически это эквивалентно указанию семи точек на рисунке. Четыре точки отклонения от кривой определяют длину и угол четырех касательных линий. Кривая, образованная плавным соединением двух кривых Безье, обычно просто описывается как последовательность кривых Безье. Ее можно было бы назвать сплайном Безье, и я полагаю, что так и должно быть. Тогда мы могли бы сказать, что сплайн Безье на рисунке интерполирует три из семи точек и аппроксимирует остальные четыре —