Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

Выигрышные номера выпадают совершенно случайно, а значит, все лотерейные билеты имеют одинаковую ожидаемую ценность: 100 тысяч билетов Селби, выбранных с помощью компьютеров, обеспечили бы такое же количество призовых денег, что и 100 тысяч билетов Харви и Лу, заполненных вручную. Согласно ожидаемой ценности, игроки Random Strategies выполняли большой объем трудной работы без какого бы то ни было вознаграждения. Зачем?

Рассмотрим следующий пример – более простой, но аналогичный по своей сути. Вы предпочли бы взять 50 тысяч долларов, или заключить пари 50 на 50 между потерей 100 тысяч долларов и получением 200 тысяч долларов? Ожидаемая ценность этого пари составляет:

(1/2) × (−100 000 долларов) + (1/2) × (200 000 долларов) = 50 000 долларов,

то есть столько же, сколько и наличных денег. На самом деле действительно есть основания, чтобы нейтрально относиться к обоим вариантам: если вы многократно заключали бы такие пари, то почти наверняка в половине случаев получали бы 200 тысяч долларов, а в другой половине – 100 тысяч долларов. Представьте себе, что выигрыши и проигрыши чередуются: после двух пари вы выиграли 200 тысяч долларов и проиграли 100 тысяч долларов, получив в итоге 100 тысяч долларов; после четырех пари эта сумма составила бы 200 тысяч долларов, после шести – 300 тысяч долларов и так далее. В среднем ваша прибыль составила бы 50 тысяч долларов на одно пари, как и в случае, если вы с самого начала выбрали бы безопасный путь.

Теперь советую вспомнить, что вы не персонаж задачи из учебника по экономике, но живой человек – человек, у которого нет на руках 100 тысяч долларов. Когда вы проиграете свою первую ставку, к вам обязательно заглянет букмекер (этакий огромный, злой, наголо бритый парень с накачанными мышцами) и потребует вернуть долг. А вы ему в ответ: «Вычисление ожидаемой ценности показывает, что я, по всей вероятности, смогу выплатить вам долг в долгосрочном периоде». Вы допускаете, что в силах произнести такое? Конечно, нет. Ваш математически убедительный аргумент не достигнет своей цели.

Следовательно, если вы обычный живой человек, вам следует взять 50 тысяч долларов.

Такие рассуждения хорошо объясняет теория полезности. Если я – корпорация с неограниченными финансовыми средствами, то потеря 100 тысяч долларов может выглядеть не слишком страшным событием, оно обойдется мне, скажем, в 100 ютилей, тогда как выигрыш 200 тысяч долларов принесет 200 ютилей. В таком случае зависимость между долларами и ютилями может носить линейный характер, и тогда ютиль – всего лишь другое название тысячи долларов.

Но если я – обычный живой человек со скромными сбережениями, то вычисления будут совсем другими. Выигрыш 200 тысяч долларов изменит мою жизнь в гораздо большей степени, чем жизнь корпорации, а значит, это событие может иметь для меня более высокую ценность – скажем, 400 ютилей. А вот проигрыш 100 тысяч долларов не просто опустошит мой банковский счет: мне придется выплачивать долг сердитому бритому качку. Речь уже не идет о просто плохом показателе в балансовой ведомости. Мы рискуем получить серьезные физические увечья, и этот риск мы можем оценить в 1000 ютилей. В таком случае ожидаемая полезность этого пари составляет:

(1/2) × (−1000) + (1/2) × (400) = −300

Отрицательная полезность данного пари означает, что данный вариант развития событий не просто хуже верных 50 тысяч долларов; он даже хуже того, если вы вообще ничего не делали бы. Равная 50 % вероятность, что вы будете разорены, означает риск, который вы не можете себе позволить, во всяком случае без перспективы получения намного большего вознаграждения.

Я показал математический способ формального описания принципа, с которым вы уже знакомы: чем более вы богаты, тем больше вы позволяете себе рисковать. Такие пари, как в представленном выше примере, подобны рискованным инвестициям с положительным ожидаемым выигрышем: когда вы часто делаете такие капиталовложения, то в некоторых случаях неизбежны какие-то денежные потери, но в долгосрочной перспективе вы остаетесь с прибылью. Чтобы покрыть нерегулярные потери, богатый человек, имеющий достаточно большой резерв, продолжает инвестировать и становится еще богаче. Небогатые люди остаются там же, где и находились.

Рискованные инвестиции могут иметь смысл даже в случае, если у вас нет денег для покрытия потерь, но только при условии, что вы предусмотрели запасной план. Определенное действие на рынке может обеспечить возможность заработать 1 миллион долларов с вероятностью 99 % и потерять 50 миллионов долларов с вероятностью 1 %. Целесообразно ли совершать этот шаг? Он имеет положительную ожидаемую ценность, поэтому кажется хорошей стратегией. Также вы можете отказаться от риска нести такие большие убытки – главным образом потому, что настолько малые вероятности, как известно, трудно оценить довольно точно[208]. Профи придумали для таких случаев меткую фразу: «Все равно что подбирать десятицентовики на пути парового катка». В большинстве случаев вы получаете не слишком много денег, но стоит поскользнуться – и каток вас раздавит.

Так что делать? Одна из стратегий сводится к тому, чтобы по полной использовать заемные средства – до тех пор пока не соберется вдоволь бумажных активов, – тогда вы делаете свой рискованный шаг, поставив на кон в сто раз больше денег. Теперь вы можете получать по 100 миллионов на каждую транзакцию – отлично! Что случится, если паровой каток вас все-таки настигнет? Вы потеряете 5 миллиардов. А может быть, и нет. Ведь сегодня, когда всё завязано друг на друге, мировая экономика представляет собой большой разваливающийся дом на дереве, который держится исключительно за счет ржавых гвоздей и веревки. Серьезное крушение в одном месте моментально создаст угрозу полного обвала нашей хибары. Однако Федеральная резервная система США решительно настроена на то, чтобы не допустить никакого краха. Как говорится, если вы потеряли миллион – это ваша проблема, а если пять миллиардов – проблема правительства.

Довольно циничная финансовая стратегия, но во многих случаях она срабатывает. В частности, она оправдала себя в 1990-е годы с хеджевым фондом Long-Term Capital Management – его истории посвящена замечательная книга Роджера Ловенстайна When Genius Failed («Когда гений терпит поражение»)[209]. Кроме того, эта стратегия оправдала себя с компаниями, выжившими и даже извлекшими для себя выгоду из финансового кризиса 2008 года. Сегодня, в отсутствие кардинальных перемен, которых пока нигде не видно, подобная финансовая политика снова станет востребованной[210].