Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

Сумма первого ряда, (1/2) + (1/4) + (1/8) + …, равна 1; это тот самый бесконечный ряд, который обнаружил Зенон в главе 2. Второй ряд такой же, как и первый, только каждый его член разделен на 2, а значит, сумма этого ряда должна быть равной половине суммы первого ряда, то есть 1/2. Точно так же третий ряд, представляющий собой второй ряд, в которой каждый член разделен на 2, должен быть равным половине суммы второго ряда, то есть 1/4. Сумма всех чисел, представленных в правой части этого треугольника, равна 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + …, на единицу больше, чем сумма ряда Зенона, другими словами, 2.

Но что если мы просуммируем сначала столбцы, а не ряды? Как и в случае с отверстиями в боковой панели стереосистемы моих родителей, не имеет значения, как считать – по горизонтали или по вертикали: сумма останется одной и той же[198]. В первом столбце есть только число 1/2; во втором два числа 1/4, то есть (1/4) × 2; в третьем три числа 1/8, то есть (1/8) × 3, и так далее. Ряд, сформированный из сумм столбцов, – это не что иное, как сумма, которую установил Бернулли для изучения санкт-петербургской задачи. А эта сумма представляет собой сумму всех чисел бесконечного треугольника, то есть 2. Следовательно, сумма денег, которую должен заплатить Павел, равна такому количеству дукатов, которое, согласно его личной кривой полезности, стоит 2 ютиля[199].

Помимо того факта, что кривая полезности изгибается вниз по мере увеличения количества денег, ее форму невозможно определить точно[200], хотя современные экономисты и психологи постоянно изобретают все более замысловатые эксперименты, призванные внести ясность в наше понимание свойств этой кривой. («А теперь, если не возражаете, удобно положите голову в центре камеры функционального магнитно-резонансного томографа, и я попрошу вас упорядочить следующие шесть покерных стратегий, от самых привлекательных до наименее привлекательных. Затем, если вы не против, полежите спокойно еще немного, пока мой ассистент возьмет у вас мазок из ротовой полости…»)

По крайней мере мы знаем, что не существует универсальной кривой: разные люди в разных ситуациях присваивают деньгам разную полезность. Это важный факт, который заставляет нас задуматься (или как минимум должен), когда мы начинаем делать обобщения по поводу экономического поведения. Грег Мэнкью – экономист Гарвардского университета, чью оценку рейганомики мы дали в первой главе, в 2008 году написал в своем блоге, что предложенное кандидатом в президенты США Бараком Обамой повышение налогов заставит его меньше работать{182}. Ведь Мэнкью уже достиг точки равновесия, в которой полезность денег, которые он получил бы за дополнительный час работы, была бы полностью сведена на нет отрицательной полезностью потери часа времени, который он мог бы провести со своими детьми. Сократите количество денег, зарабатанных Мэнкью за один час, – и эта сделка перестает быть выгодной для него; в итоге он будет сокращать объем выполненной работы до тех пор, пока этот объем не опустится до того уровня доходов, на котором один час с детьми будет иметь для него такую же ценность, что и один час, потраченный на работу с сокращенной Обамой оплатой. Мэнкью разделяет подход Рейгана к экономике с точки зрения звезды ковбойских фильмов: когда налоговая ставка повышается, вы снимаете меньше фильмов.

Но не все рассуждают так, как Грег Мэнкью. В частности, не у всех такая же кривая полезности, как у него. Автор комических эссе Фран Лебовиц рассказывает историю своей манхэттенской молодости, когда она работала таксистом[201]. Она начинала зарабатывать на такси в начале месяца и делала это каждый день, пока не заработает достаточно денег на жилье и еду. Затем прекращала водить такси и оставшуюся часть месяца писала. Для Фран Лебовиц все деньги, заработанные свыше определенного порога, имеют, по сути, нулевую полезность. Это означает, что у нее совсем другая кривая полезности, чем у Мэнкью. Ее кривая становится пологой, как только она расплатится за жилье. Что произойдет с Фран Лебовиц, когда повысится подоходный налог? Она будет работать больше, а не меньше, чтобы вернуться к своему пороговому значению дохода[202].

Бернулли был не единственным математиком, который пришел к идее полезности и ее нелинейной связи с деньгами. У него было как минимум два предшественника, одним из которых был Габриель Крамер из Женевы, а другим – не кто иной, как бросатель игл Жорж Луи Леклерк, граф де Бюффон. Интерес Бюффона к вероятности не ограничивался салонными играми. На более позднем этапе своей жизни он так вспоминал о своей встрече с досадным санкт-петербургским парадоксом: