Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

Ютили могут пригодиться при принятии решений по поводу того, что не имеет четко определенной денежной стоимости, например зря потраченное время или неприятная еда. Но о полезности необходимо говорить даже в тех случаях, когда речь идет о чем-то имеющем определенную денежную стоимость – скажем, о деньгах.

Осознание этого пришло еще в самом начале развития теории вероятностей. Подобно многим другим важным открытиям, эта идея впервые была сформулирована в виде головоломки. Даниил Бернулли описал ее в 1738 году, в труде Exposition on a New Theory of the Measurement of Risk («Опыт новой теории измерения жребия»)[194]:

Очевидно, что для Павла это достаточно привлекательный сценарий игры, за участие в которой он готов выложить какую-то сумму. Но какую именно? Учитывая наш опыт с лотереями, естественный ответ сводится к тому, чтобы вычислить ожидаемую ценность суммы денег, которую Павел получит от Петра. Вероятность того, что монета упадет лицевой стороной вверх после первого же броска, составляет 50 на 50, и в этом случае Павел получит один дукат. Если после первого броска выпадет реверс, а после второго аверс (событие, которое происходит в одном из четырех случаев), Павел получит два дуката. Чтобы он получил четыре дуката, в первых трех бросках монета должна упасть так: реверс, реверс, аверс (что происходит с вероятностью 1/8). Если продолжить этот ряд и просуммировать его отдельные элементы, ожидаемая прибыль Павла составит:

(1/2) × 1 + (1/4) × 2 + (1/8) × 4 + (1/16) × 8 + (1/32) × 16 +…

или

1/2 + 1/2 + 1/2 + 1/2 +…

Данная сумма не является числом. Это расходящийся ряд: чем больше членов вы складываете, тем больше становится сумма, увеличиваясь до бесконечности и превышая любой конечный предел[196]. На первый взгляд может показаться, что Павел готов заплатить любое количество дукатов за право принимать участие в игре.

Похоже на полную чушь. И так оно и есть! Однако, когда математика говорит, что нечто похоже на чушь, математики не уходят прочь, пожав плечами. Мы начинаем искать тот поворот, после которого либо математика, либо наша интуиция пошла не по тому пути[197]. Эту головоломку, известную как санкт-петербургский парадокс, впервые сформулировал Николай Бернулли (двоюродный брат Даниила) примерно на тридцать лет раньше, и многие специалисты по теории вероятностей того времени ломали над ней голову, но так и не пришли к удовлетворительному выводу. Младший Бернулли предложил замечательный способ разрешения этого парадокса – важнейший результат, с тех пор лежащий в основе экономического мышления по поводу неопределенной ценности. Бернулли утверждал: было бы ошибкой говорить, что дукат – это просто дукат. Дукат в руках богатого человека имеет иную ценность, чем дукат в руках крестьянина, что можно увидеть даже по тому, насколько по-разному эти двое относятся к своим деньгам. В частности, две тысячи дукатов – это не в два раза лучше одной тысячи, поскольку для человека, у которого уже есть тысяча дукатов, тысяча дукатов имеет меньшую ценность, чем для человека, у которого нет ничего. В два раза больше дукатов не означает в два раза больше ютилей: не все линии прямые, а зависимость между деньгами и их полезностью отображается в виде одной из таких непрямых линий.

Бернулли считал, что такая полезность возрастает по логарифмическому закону, то есть k-й приз в размере 2k дукатов имеет ценность всего k ютилей. Помните: мы можем представить логарифм как своего рода совокупность цифр, а значит, если сформулировать гипотезу Бернулли в долларах, то она гласит, что богатые люди измеряют ценность своих денег в количестве цифр после долларового знака: миллиардер настолько богаче миллионера с капиталом 100 миллионов долларов, насколько миллионер с капиталом 100 миллионов долларов богаче миллионера с капиталом 10 миллионов долларов.

В формулировке Бернулли ожидаемая полезность петербургской игры представляет собой сумму:

(1/2) × 1 + (1/4) × 2 + (1/8) × 3 + (1/16) × 4 +…

Это укрощает парадокс, поскольку, оказывается, эта сумма больше не является бесконечной или даже большой. На самом деле существует замечательный прием, который позволяет нам точно вычислить эту сумму: