Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - Алексей Михайлович Семихатов

единицу. Вторая единица говорит: «Возьмите квадрат второго катета и умножьте его на меня» – снова, получается, на единицу. Вульгарным языком то же самое выражается как «пифагоровы штаны на все стороны равны»; равны друг другу эти две единицы – но это только пока мы в плоском пространстве, о чем автор прибаутки, возможно, не подозревал. После взятия квадратов катетов никто специально не говорит «Сложите то, что получится», но это и так все знают:

1 · (первый катет)2 + 1 · (второй катет)2 = (гипотенуза)2.

Пифагор: квадрат каждого катета умножаем на единицу

Рис. 7.1. Слева: квадрат расстояния на плоскости равен a2 + b2. Справа: квадрат расстояния в пространстве равен a2 + b2 + c2. (Здесь c не обозначает скорость света)

Единицы, взятые из таблицы, напоминают, что квадраты катетов надо брать с коэффициентами не полтора, три или две трети, а именно единица[127]. Тогда мы в точности находим гипотенузу, а это – расстояние между точками, как видно на рис. 7.1 слева. Если – скажем, в городе с прямоугольной сеткой улиц – у вас нет возможности пройти по прямой, чтобы измерить расстояние между двумя точками, но вы в состоянии измерить отрезки a и b, а угол между ними 90°, то ответ для расстояния – в теореме Пифагора.(рис. 7.1 слева). Все то же самое происходит и в трехмерном пространстве: длина отрезка на рис. 7.1 справа известна, как только известны длины a, b и c вдоль трех осей: нужно просто сложить их квадраты, т. е. вычислить a2 + b2 + c2, что окажется равным квадрату искомой длины. Здесь тоже скрытым образом присутствуют три единицы – те самые, которые мы видим в левой верхней части приведенной выше таблицы:

Но далее к компании из трех единиц присоединилась минус единица. Она стоит на том месте (пересечение четвертой строки и четвертого столбца), которое отвечает времени. Если не останавливаться, а продолжать действовать по той же схеме «умножить на меня», а потом все полученное сложить, то из квадрата расстояния в пространстве придется вычесть квадрат промежутка времени:

Что это получилось?

Квадрат времени умножаем на минус единицу

Не прибавляя, а вычитая квадрат буквы u (промежутка времени между событиями)[128], мы получаем единственное и уникальное «расстояние», но уже не между точками в пространстве, а между событиями в (плоском) пространстве-времени. Я некоторое время подержу слово «расстояние» в кавычках, когда оно употребляется в этом значении. В плоском пространстве-времени имеется единственное настоящее «расстояние», т. е. такое, которое всегда одинаково для всех наблюдателей. Мы видели на прогулке 5, насколько могут различаться картины мира наблюдателей в зависимости от их скорости: различными могут быть их представления о длинах и промежутках времени, об одновременности, прошлом и будущем; но имеется и нечто абсолютно одинаковое для всех: «расстояние» в пространстве-времени между двумя событиями, которое определяется по правилу «теорема Пифагора с минусом для времени». Каждый наблюдатель измеряет, насколько два события разнесены «в ширину» (вдоль какого-то выбранного направления), насколько «в глубину» (вдоль направления под прямым углом к первому) и насколько «в высоту» (под прямым углом к двум предыдущим), а кроме того, измеряет промежуток времени между событиями. У разных наблюдателей все эти отдельные данные – три пространственных отрезка и один временной отрезок – окажутся различными. Но далее случается чудо: каждый из них смотрит на таблицу как на руководство к действию и возводит все результаты своих измерений в квадрат, а потом складывает три первых квадрата и вычитает четвертый. У всех получится в точности одно и то же.

Будучи студентом инженерного факультета, Дирак (один из основоположников квантовой теории, с которым мы еще встретимся) впервые увидел формулу, содержащую три единицы и одну минус единицу, на лекции по философии, о чем вспоминает так:

Знак минус произвел на меня огромное впечатление. Я сразу понял, что в этой формуле есть что-то новое. Причина столь сильного эффекта, может быть, крылась в том, что в школе меня очень интересовала связь пространства и времени. Немало поразмышляв над этим, я понял, что время очень похоже на любое другое измерение, и тогда мне пришло в голову, что между пространством и временем может существовать какая-то связь и что эти объекты следует рассматривать в общем четырехмерном виде.

Однако единственной известной мне тогда геометрией была геометрия Евклида, и если между пространством и временем и существовало какое-нибудь соотношение, то обе эти величины должны были входить в него со знаком плюс. Нетрудно понять, что такой подход неправилен.

…

Теперь, приобретя новый взгляд на мир, возникший из формулы, которую написал на доске Броуд, я вскоре смог сам выводить основные уравнения специальной теории относительности[129].

Минус единица – число, более всех, конечно, «похожее» на единицу, но все же не единица – еще раз напоминает нам, что, несмотря на определенную демократию в пространстве-времени, между временным направлением и пространственными направлениями имеются неустранимые различия. Этот минус, в частности, – точная математическая причина отличия гиперболических поворотов в пространстве-времени от обычных поворотов в пространстве. Гиперболические повороты тихо преследуют нас начиная с главы 5. Причина, по которой они вообще возникают, связана именно с правилами для исчисления расстояний. При обычных поворотах сохраняются все расстояния, как мы уже упоминали, используя памятник Пушкину в качестве примера (в главе «прогулка 5»). Это обычные расстояния – те, которые вычисляются по самому обычному Пифагору, где одни только плюс единицы. Гиперболические же повороты сохраняют «расстояния» в пространстве-времени, которые вычисляются по «Пифагору с одним минусом». Тот факт, что, согласно рецепту с одним минусом, получается величина, не зависящая от относительного движения наблюдателей, – следствие двух основных постулатов: абсолютности скорости света и принципа относительности. И почему только я не сказал об этом на прогулке