Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - Стивен Строгац

Для меня это величайшая загадка всего: почему Вселенная постижима и почему анализ согласуется с ней? У меня нет ответа, но я надеюсь, что вы согласитесь: над этим стоит подумать. А сейчас позвольте мне представить три последних примера сверхъестественной эффективности анализа.

Восемь знаков после запятой

Первый пример возвращает нас к тому, с чего мы начинали, – к замечанию Ричарда Фейнмана, что анализ – это язык, на котором говорит Бог. Пример связан с собственной работой Фейнмана по расширению квантовой механики, которое называется квантовой электродинамикой, сокращенно КЭД[343]. КЭД – это квантовая теория, объясняющая взаимодействие света и материи. Она объединяет теорию электромагнетизма Максвелла, специальную теорию относительности Эйнштейна и квантовую теорию Гейзенберга и Шрёдингера. Фейнман был одним из главных создателей КЭД, и, рассмотрев его теорию, я могу понять, отчего он так восхищался анализом. Его теория переполнена им и по тактике, и по стилю. Она изобилует степенными рядами, интегралами, дифференциальными уравнениями и включает множество трюков с бесконечностью.

Еще важнее то, что это самая точная теория из когда-либо созданных[344]. С помощью компьютеров физики все еще занимаются суммированием рядов, возникающих в КЭД, используя так называемые диаграммы Фейнмана, чтобы делать прогнозы о свойствах электронов и других частиц. Сравнивая эти прогнозы с весьма точными экспериментальными измерениями, они показали, что теория согласуется с реальностью с точностью до восьми знаков после запятой, то есть лучше, чем одна стомиллионная.

Это причудливый способ сказать, что теория фактически верна. Всегда трудно найти удобные аналогии для осмысления таких больших чисел, но давайте я попробую представить это так: сто миллионов секунд – это 3,17 года, поэтому получить нечто с точностью до одной стомиллионной – все равно что планировать щелкать пальцами ровно 3,17 года и отсчитать это время с точностью до секунды без помощи часов.

В этом есть нечто удивительное с философской точки зрения. Дифференциальные уравнения и интегралы квантовой электродинамики – это творения человеческого разума. Разумеется, они базируются на экспериментах и наблюдениях, так что до определенной степени в них встроена реальность. Но тем не менее они – продукт воображения. Это не рабское подражание действительности. Это изобретения. И, что удивительно, выписывая какие-то каракули на бумаге и проводя определенные вычисления с помощью методов, аналогичных разработанным Ньютоном и Лейбницем, но усовершенствованных в реалиях XXI века, мы можем предсказать самые потаенные свойства природы, причем с точностью до восьми знаков! Ни один из прогнозов человечества не был таким точным, как прогнозы квантовой электродинамики.

Я думаю, это важное уточнение, поскольку оно опровергает расхожую фразу, что наука подобна религии и другим системам верований и что у нее нет особых прав на истину. Ну уж нет. Любая теория, которая согласуется с реальностью с точностью в одну стомиллионную, – это не просто вопрос веры или чьего-то мнения. Для этого не нужны восемь знаков после запятой. Множество теорий в физике оказались ошибочными. Но не эта. По крайней мере, пока. Несомненно, какие-то отклонения имеются, как и в любой теории, но она определенно близка к истине.

Открытие позитрона

Второй пример сверхъестественной эффективности анализа связан с более ранним расширением квантовой механики. В 1928 году британский физик Поль Дирак[345] пытался найти способ согласовать специальную теорию относительности с основными принципами квантовой механики применительно к электрону, движущемуся со скоростью, близкой к скорости света. Он выдвинул теорию, которая показалась ему красивой. Дирак выбрал ее в основном исходя из эстетических соображений. У него не было для нее никаких конкретных эмпирических подтверждений, кроме ощущения художника, что красота – это признак истинности. Уже сами эти ограничения – совместимость с теорией относительности и квантовой механикой, а также математическая элегантность – сильно связывали ему руки. После борьбы различных теорий он нашел одну, которая отвечала его эстетическими пожеланиям. Иными словами, она определялась стремлением к гармонии. Как и любой хороший ученый, Дирак пытался проверить свою теорию, извлекая из нее прогнозы. А поскольку он был физиком-теоретиком, это означало использование анализа.

Когда он установил дифференциальное уравнение, которое сейчас известно как уравнение Дирака, и продолжил анализировать его в течение нескольких следующих лет, то обнаружил, что из него вытекает несколько поразительных прогнозов. Первый – существование антивещества, другими словами, частицы, эквивалентной электрону, но с положительным зарядом. Сначала он думал, что частица может быть протоном, но от этой идеи пришлось отказаться, поскольку масса предсказанных частиц была почти в две тысячи раз меньше, чем у протона[346]. Такая маленькая положительно заряженная частица не была известна. И все же уравнение предсказывало ее существование. Дирак назвал ее антиэлектроном. В 1931 году он опубликовал статью, в которой предсказал, что когда эта еще не выявленная частица столкнется с электроном, они аннигилируют[347]. «Это не требует никаких изменений в формальном изложении при использовании абстрактных символов, – писал он и сухо добавлял: – При таких обстоятельствах было бы удивительно, если бы Природа не воспользовалась этим»[348].

В следующем году физик-экспериментатор Карл Андерсон в ходе изучения космических лучей увидел странный след в камере Вильсона. Какая-то частица двигалась по изогнутому пути, как электрон, но траектория изгибалась в противоположном направлении, словно у нее был положительный заряд. Он не знал о предсказании Дирака, но понял смысл увиденного[349]. Когда Андерсон опубликовал статью об открытии в 1932 году, редактор предложил назвать частицу позитроном. Название прижилось. Дирак получил Нобелевскую премию за свое уравнение в 1933 году, Андерсон был награжден за открытие позитрона в 1936-м.