Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - Стивен Строгац

Наследие анализа очевидно в названиях некоторых ранних компьютеров[331]. Одним из них было механическое устройство под названием дифференциальный анализатор. Его задача заключалась в решении дифференциальных уравнений, необходимых для составления артиллерийских таблиц. Другая машина называлась ENIAC (Electronic Numerical Integrator and Computer – Электронный числовой интегратор и вычислитель). Здесь слово «интегратор» использовалось в математическом смысле и относилось к взятию интегралов или интегрированию дифференциальных уравнений. Полностью готовый в 1945 году, ЭНИАК стал одним из первых перепрограммируемых компьютеров общего назначения. Наряду с составлением таблиц стрельбы он также оценивал техническую осуществимость водородной бомбы.

Хотя развитие компьютеров стимулировало военное применение анализа и нелинейной динамики, и эти машины, и разработанная теория нашли себе сферы приложения и в мирное время. В 1950-е годы ученые начали использовать их для решения задач, возникающих в их собственных дисциплинах, а не только в физике. Например, британские биологи Алан Ходжкин и Эндрю Хаксли[332] с помощью компьютера пытались понять, как нервные клетки общаются друг с другом и как электрические сигналы проходят по нервным волокнам. Они провели кропотливые эксперименты по расчету потока ионов калия и натрия через мембрану очень большого и удобного для экспериментирования нервного волокна – гигантского аксона кальмара[333] и в результате эмпирически выяснили, как эти потоки зависят от напряжения на мембране и как это напряжение изменяется при движении ионов. Но чего они не могли вычислить без компьютера, так это скорость и форму нервного импульса, проходящего по аксону. Для определения его движения требовалось решить нелинейное дифференциальное уравнение в частных производных для напряжения как функции от времени и пространства. Эндрю Хаксли решил его за три недели с помощью ручного механического калькулятора.

В 1963 году Ходжкин и Хаксли получили Нобелевскую премию за открытие ионной основы работы нервных клеток. Их подход вдохновил всех, кто интересовался применением математики к биологии. Она определенно выглядела перспективной областью для использования анализа. Математическая биология[334] – место, где есть простор для нелинейных дифференциальных уравнений. Опираясь на ньютоновские аналитические методы, геометрические методы в стиле Пуанкаре и максимально задействуя потенциал компьютеров, специалисты по математической биологии выводят и добиваются прогресса в решении дифференциальных уравнений, описывающих сердечные ритмы, распространение эпидемий, работу иммунной системы, взаимодействие генов, развитие рака и многие другие загадки жизни. Ничего этого мы бы не сделали без анализа.

Сложные системы и проклятие высокой размерности

Самое серьезное ограничение подхода Пуанкаре связано с человеческим мозгом, который не может представить себе пространства из более чем трех измерений. Естественный отбор настроил нашу нервную систему на восприятие трех измерений обычного пространства – вверх-вниз, влево-вправо, вперед-назад. Как бы мы ни старались, мы не можем изобразить четвертое измерение (я не имею в виду – мысленным взглядом). Однако с помощью символов мы можем попробовать работать с любым числом измерений: Ферма и Декарт показали нам, как это делать. Их координатная плоскость научила нас связывать числа и размерность пространства. Направление влево-вправо соответствовало числу x, вверх-вниз – числу y. Добавив новые числа, мы получим новые измерения. Для трех измерений достаточно x, y и z. Почему бы не взять четыре измерения или пять? Ведь букв еще много.

Возможно, вы слышали, что время – это четвертое измерение. Действительно, в специальной и общей теории относительности Эйнштейна пространство и время слиты в единую сущность, пространство-время, и представлены на четырехмерной математической арене. Грубо говоря, обычное пространство соответствует первым трем осям, а время – четвертой. Эту конструкцию можно рассматривать как обобщение двумерной координатной плоскости Ферма и Декарта.

Но сейчас мы говорим не о пространстве-времени. Ограничение, присущее подходу Пуанкаре, касается гораздо более абстрактной сферы. Это обобщение абстрактного пространства состояний, с которым мы познакомились, когда рассматривали векторное поле для маятника. Тогда мы построили абстрактное пространство с одной осью для угла маятника и с другой – для его скорости. В каждое мгновение угол и скорость качающегося маятника имели конкретные значения, а значит, в тот момент они соответствовали какой-то определенной точке на плоскости для угла и скорости. Стрелки на этой плоскости (похожие на инструкции для танцоров) показывали, как это состояние меняется от момента к моменту – в соответствии с дифференциальным уравнением Ньютона для маятника. Следуя этим стрелкам, мы могли предсказать, как будет двигаться маятник. В зависимости от того, где началось движение, он мог колебаться влево-вправо или вообще вращаться. И вся эта информация содержалась в картинке.

Здесь важно понять, что пространство состояний маятника имеет два измерения, поскольку двух переменных – угла и скорости – достаточно для предсказания будущего поведения маятника. Они дают ровно ту информацию, в которой мы нуждались для прогнозирования угла и скорости в следующий момент, затем в следующий и так далее. В этом смысле маятник по своей сути – двумерная система. Его пространство состояний имеет два измерения.

Проклятие высокой размерности проявляется при столкновении с системами сложнее маятника. Возьмем, к примеру, задачу, от которой у Ньютона болела голова, – задачу трех тел. Пространство ее состояний имеет восемнадцать измерений. Чтобы понять, почему, посмотрим на одно из тел. В любой момент оно находится в какой-то точке трехмерного пространства, а потому его положение можно установить с помощью трех чисел x, y и z. Оно также может двигаться, и для определения его скорости нам нужно знать еще три числа – проекции его скорости на все три оси. Следовательно, для одного тела требуется шесть чисел: три пространственные координаты и три числа для его скорости. Положение и скорость тела определяются точкой в шестимерном пространстве. Поскольку тел три, то получается, что в пространстве состояний для трех тел должно быть 6 × 3 = 18 измерений. Таким образом, при подходе Пуанкаре изменяющееся состояние системы с тремя взаимодействующими телами представляется одной точкой, движущейся в восемнадцатимерном пространстве. Со временем эта абстрактная точка вычерчивает траекторию, подобную траектории кометы или артиллерийского снаряда, за исключением того, что это происходит не в трех измерениях, а на фантастической арене Пуанкаре – в восемнадцатимерном пространстве задачи трех тел.