Ритм вселенной. Как из хаоса возникает порядок - Стивен Строгац

Между прочим, этот анализ низвел Кевина Бейкона с его пьедестала. Он оказался лишь 669-м в списке киноактеров, имеющих самые многочисленные связи. (Этот показатель измерялся средним отчуждением киноактера от всех остальных в этом «гигантском компоненте». Согласно этому показателю, центром голливудской «вселенной» является Род Стайгер. Как ни странно, вторым и третьим номерами оказались Кристофер Ли и Дональд Плисенз, известные главным образом своими ролями во второсортных фильмах ужасов.

После того как мы продемонстрировали, что сети тесного мира не только существуют в реальности, но даже могут встречаться повсеместно, нам оставалось ответить на исходный вопрос Дункана: будут ли осцилляторы, связанные между собой по типу сети тесного мира, синхронизироваться с большей или меньшей готовностью, чем они синхронизировались бы в традиционной регулярной сети? На этот вопрос можно было бы в конце концов ответить, по крайней мере теоретически, с помощью разработанной ранее модели преобразования. Каждый узел в такой сети теперь представлял бы некий самоподдерживающийся осциллятор – которым мог бы быть стрекочущий сверчок, мерцающий светлячок, нейрон-задатчик ритма, – а связи в такой сети отражали бы соответствующую картину взаимодействий.

Одна из простейших моделей такого рода была к тому времени уже изучена Курамото и его коллегами Хидецугу Сакагути и Сигеру Синомото[246]. Они рассматривали те же виды осцилляторов, что и в оригинальной модели Курамото: фазовые осцилляторы с распределенными естественными частотами, связанные между собой силой притяжения синусоидальной формы. (Представьте себе помещение, в котором собралось множество людей. Каждый из присутствующих пытается аплодировать в унисон, то ускоряя, то замедляя свое хлопанье в зависимости от временного сдвига между его собственным хлопаньем и коллективными аплодисментами. Поскольку скорость коллективного хлопанья постоянно меняется в диапазоне от размеренного до неистового, людям, собравшимся в этом помещении, все время приходится подравнивать скорости своего хлопанья к текущей скорости коллективных аплодисментов.) Но, в отличие от первоначальной модели Курамото, которая предполагала, что осцилляторы соединены между собой по принципу «каждый с каждым», на этот раз японские физики предполагали кольцевой принцип соединения осцилляторов, согласно которому каждый осциллятор соединялся с фиксированным количеством соседей по обе стороны от себя. (Представьте себе арену, наподобие футбольного стадиона, где каждый болельщик слышит лишь тех, кто сидит рядом с ним.) Курамото и его коллеги обнаружили, что кольцо разнородных осцилляторов с трудом достигает всеобщего синхронизма; вообще говоря, такое кольцо фрагментируется на множество небольших групп соседей, причем члены одной группы осциллируют с одной и той же средней скоростью, однако в разных группах эта скорость оказывается разной. Разные сектора стадиона в этом случае хлопали бы с разными скоростями.

Мы хотели выяснить, приведет ли переустановка связей в кольце к повышению его способности синхронизироваться. Как и в ходе предыдущих сеансов моделирования, мы преобразовывали кольцевую структуру в сторону произвольной сети, превращая некоторые из ее первоначальных соединений в произвольные. (Это подобно тому, как если бы у некоторых из болельщиков были мобильные телефоны, с помощью которых они могли бы слышать аплодисменты, раздающиеся в других секторах стадиона, но неслышные для их соседей по сектору.) Мы обнаружили, что крошечный процент таких «перемычек»[247] – порядка 1–2 процентов в кольце из 1000 осцилляторов – резко изменял динамику системы в целом. Система самопроизвольно переходила от локального несовпадения к глобальному консенсусу. Теперь все осцилляторы приводили свои ритмы к единой компромиссной частоте.

Хотя нам не удавалось объяснить эти результаты с математической точки зрения, напрашивалось интуитивное объяснение: «перемычки» создавали каналы быстродействующей связи, благодаря чему взаимное влияние быстро распространялось по всей популяции. Разумеется, такого же эффекта можно было достичь путем непосредственного соединения осцилляторов по принципу «каждый с каждым», но при этом существенно возрастало бы количество соединений. Совершенно очевидно, что архитектура тесного мира позволяла добиться глобальной координации гораздо эффективнее.

К тому же архитектура тесного мира, возможно, оказалась бы предпочтительным вариантом в других случаях, когда приходится обеспечивать быстрое продвижение информации по чрезвычайно сложной системе. Следующий случай, который мы решили изучить, представляет собой классическую задачу компьютерной науки, которая называется «проблемой классификации плотности для одномерных двоичных автоматов»[248]. Попробуем сформулировать ее более простым языком. Представьте себе кольцо из 1000 лампочек. Каждая из этих лампочек может быть либо включена, либо выключена. На очередном временном шаге каждая из этих лампочек смотрит на трех своих соседей по обе стороны от себя и с помощью некоторого правила (которое еще предстоит определить) решает, в каком состоянии (включена или выключена) ей нужно пребывать в следующем цикле. Задача заключается в том, чтобы разработать правило, которое позволит такой сети решить определенное вычислительное задание. Поначалу это задание кажется до смешного простым: решить, было ли большинство этих лампочек поначалу включено или выключено. Если более половины лампочек было поначалу включено, то предполагается, что повторное выполнение этого правила приведет всю сеть к конечному состоянию, в котором все лампочки включены (и наоборот, если поначалу большинство этих лампочек было выключено, то предполагается, что конечное состояние соответствует всем выключенным лампочкам).

Эта задача оказывается тривиальной при наличии центрального процессора – «всевидящего ока», которое способно контролировать такую систему в целом и определять, было ли большинство лампочек поначалу включено или выключено. Однако нужно учитывать, что в данном случае речь идет о децентрализованной системе. «Всевидящего ока», которое обладало бы глобальным знанием, в этой системе нет. Лампочки страдают близорукостью: по определению, каждая из них может видеть лишь трех своих соседей по левую и по правую сторону от себя. Именно это и делает нашу задачу столь непростой: как может такая система, пользуясь неким локальным правилом, решить задачу, которая по своему характеру является фундаментально глобальной?

В этой задаче ухвачена суть того, что называют коллективным вычислением. Представьте себе колонию муравьев, строящих муравьиную кучу. Каждый из отдельно взятых муравьев не знает, в чем заключается цель работы, выполняемой колонией, но в своей совокупности они ведут себя так, будто обладают разумом. Вспомните концепцию «невидимой руки рынка», принадлежащую Адаму Смиту. Согласно этой концепции, если каждый, выполнив свое «локальное вычисление», решает действовать в своих собственных интересах, то экономика в целом будет двигаться к состоянию, которое оказывается полезным для всех. В нашем случае, то есть в случае «проблемы классификации плотности для одномерных двоичных автоматов», подобные (но гораздо более простые) вопросы могут быть решены в неком идеализированном, хорошо контролируемом окружении. Проблема заключается в том, чтобы придумать правило, которое позволит сети решить, было ли большинство лампочек поначалу включено или выключено, при любой первоначальной конфигурации. Такой сети предоставляется возможность действовать в течение времени, равного ее удвоенной длине. Таким образом, если наша сеть содержит 1000 лампочек, то такой системе предоставляется возможность выполнять свое локальное правило в течение 2000 шагов, после чего она должна принять решение (вынести свой вердикт).