Ритм вселенной. Как из хаоса возникает порядок - Стивен Строгац

На другом конце этого спектра, когда наше преобразование завершено и сеть стала совершенно произвольной, вычисление оказывается столь же простым. Теперь – и это удивительно! – каждый расположен на расстоянии лишь четырех шагов от каждого. Этот удивительный результат объясняется экспоненциальным ростом. В мире случайности, если вам известно 1000 человек (в среднем), а каждому из них также известно 1000 человек, это означает, что существует 1 миллион (= 1000 × 1000) человек, находящихся на расстоянии двух шагов от вас, 1 миллиард человек, находящихся на расстоянии трех шагов от вас, и 1 триллион – что гораздо больше населения нашей планеты – на расстоянии четырех шагов.

Возникает соблазн экстраполировать такой метод рассуждений на наш реальный мир, объяснив таким образом пресловутые «шесть степеней отчуждения». Но нельзя, поскольку здесь не учитывается то обстоятельство, что реальные отношения дружбы перекрываются между собой: многие из друзей ваших друзей являются также вашими друзьями и поэтому учитываются дважды.

Однако в случае гипотетической сети, которую можно охарактеризовать и как рассеянную (разбросанную), и как совершенно произвольную, указанное вычисление было бы справедливо, поскольку перекрытием отношений дружбы в данном случае можно было бы пренебречь. Когда вы выбираете случайном образом 1000 человек из огромного множества, составляющего 6 миллиардов человек, и то же самое делают все ваши друзья, вероятность перекрытия отношений дружбы составляет лишь 1 шанс из 6 миллионов. Таким образом, двойной счет в данном случае весьма маловероятен. Разумеется, это был бы довольно странный мир, в котором вероятность вашего знакомства с каким-нибудь крестьянином из Гималаев, принцем Уэльским или человеком, проживающим по соседству с вами, была бы одинаковой. Ваши друзья были бы разбросаны по всем континентам и по всем классам общества; они могли бы принадлежать к любой расе и исповедовать любую религию. В мире без перекрывающихся отношений дружбы существование какой-либо социальной структуры, семей или местных сообществ было бы просто невозможно.

Такие доводы подчеркивают важность понимания концепции перекрытия в более общем плане. Средняя величина перекрытия в сети оценивается с помощью второго статистического показателя. Этот статистический показатель – он назвается «кластеринг» – определяется как вероятность того, что два узла, связанные с каким-либо общим для них узлом, также окажутся связаны друг с другом (или, возвращаясь к нашему примеру с отношениями дружбы между людьми, вероятность того, что друзья некого третьего лица также дружат между собой). Применительно к двум крайним ситуациям, обсуждавшимся выше, можно показать, что кластеринг изменяется от 0,75 (максимально возможная величина) в случае первоначального кольца до исчезающе малой величины, составляющей 1 к 6 миллионам, в случае произвольной сети.

Например, чтобы прийти к случаю, когда кластеринг равняется 0,75, вам нужно исходить из того, что у вас есть практически все те же друзья, что и у человека, являющегося вашим непосредственным соседом в кольце (точнее говоря, 998 из 1000), в результате чего ваше перекрытие с этим, ближайшим к вам человеком, по сути, равняется 1. С другой стороны, с самым отдаленным вашим другом, находящимся от вас на расстоянии 500 шагов в кольце, у вас есть только половина общих друзей (это 499 человек, находящихся между вами и самым отдаленным вашим другом), в результате чего ваше перекрытие с этим самым отдаленным вашим другом равняется 499/1000, или примерно ½. Для всех остальных ваших друзей, находящихся между ближайшим и самым отдаленным другом, перекрытие плавно изменяется от ½ до 1, что составляет, в среднем, ¾, или 0,75 – упоминавшееся выше значение кластеринга. Далее примерно такие же, но несколько более простые рассуждения мы можем применить для вычисления кластеринга в случае произвольных связей: в этом случае кластеринг равнялся бы 1 к 6 миллионам (попытайтесь доказать это сами). Здесь важно лишь не запутаться в деталях. Принципиальным моментом здесь является то, что, подобно средней длине пути, кластеринг изменяется почти в миллион раз, когда мы преобразуем сеть, переводя ее с одного края спектра в другой.

Несмотря на то что эти два статистических показателя снижаются примерно на один и тот же коэффициент, они отражают принципиально разные аспекты архитектуры сети. Средняя длина пути отражает глобальную структуру; она зависит от способа соединения сети в целом, и ее невозможно оценить с помощью какого-либо локального измерения. Кластеринг отражает локальную структуру; он зависит лишь от способа соединений в типичной «близкой окрестности», межродственных связей среди узлов, соединенных с каким-то общим для них центром. Грубо говоря, средняя длина пути измеряет величину (масштаб) сети. Кластеринг измеряет близость родственных отношений (фигурально выражаясь, степень «кровосмесительности») в сети.

До сих пор основное внимание мы уделяли традиционным краям спектра сетей. Но мы по-прежнему пребываем в неведении относительно того, что происходит в середине этого спектра. Сами по себе края спектра говорят нам лишь о том, что преобразование сети каким-то образом сильно сжимает кольцо и разрушает его кластеры. Нам по-прежнему неизвестно, является ли этот переход постепенным или резким. Ни Дункану, ни мне не было понятно, как решить эту проблему чисто математическими средствами, поэтому мы воспользовались компьютером для моделирования такого преобразования на сетях достаточно большой, но все же вполне обозримой величины, начиная с исходных колец, содержащих 1000 узлов, по 10 связей на каждый узел. Чтобы отобразить в графическом виде структурные изменения на этом среднем уровне, мы представили зависимость средней длины пути и кластеринга от доли связей, которые были произвольно переустановлены.

Полученный результат удивил нас. Даже самая ничтожная доля случайности приводила к колоссальному сокращению сети. Сначала резко снижалась средняя длина пути: при увеличении количества произвольно переустановленных связей лишь на 1 % (это означало, что стала случайной лишь одна из каждых 100 связей) кривая снижалась на 85 % по сравнению со своим первоначальным уровнем. Дальнейшая переустановка связей оказывала лишь минимальное влияние: кривая превращалась практически в горизонтальную линию, пролегающую на низком уровне; это указывало на то, что сеть уже сократилась до минимально возможного размера, как если бы она была полностью произвольной. Между тем изменение кластеринга было весьма несущественным. При увеличении количества произвольно переустановленных связей на 1 % кластеринг снижался лишь на 3 %. Связи изымались из хорошо упорядоченных окружений, однако это не оказывало существенного влияния на кластеринг. Лишь на гораздо более поздней стадии преобразования, гораздо позже резкого сокращения средней длины пути, кластеринг начинал существенно снижаться.

У таких результатов есть интуитивное объяснение. В начале преобразования первые несколько произвольных связей действуют как перемычки – мосты между частями сети, которые в противном случае были бы слишком удалены друг от друга. Их непропорционально сильное влияние является следствием мощного нелинейного эффекта: они не только соединяют друг с другом два узла – они соединяют друг с другом целые миры. Например, мне нравится играть в шахматы в режиме он-лайн в Шахматном клубе интернета, где я подружился с Эмилио, редактором одного из голландских журналов. Благодаря возникновению этой «перемычки» я, конечно, очень сблизился с Эмилио – однако не только с ним, но и с тысячами других граждан Голландии: всеми его друзьями и друзьями этих друзей. И хотя мои собственные друзья даже не подозревают об этом, все они сейчас сблизились с Эмилио и его друзьями – и все это благодаря единственной «перемычке», созданной мною и Эмилио. Один этот мост играет очень важную роль.