Маленькая книга о черных дырах - Франс Преториус

Понять решение Шварцшильда оказалось очень трудно. Даже Эйнштейну, по-видимому, остались непонятны некоторые из его основных моментов, в частности гладкость горизонта. Что же представляет собой эта черная жемчужина теории тяготения, которая упала Шварцшильду прямо в руки, но которую даже Эйнштейн не смог полностью оценить?

Прошло около 50 лет после того, как Шварцшильд нашел свое решение, прежде чем физическое значение его открытия начало проясняться. Мы уже отметили некоторые стороны новой физической картины: в частности, идею горизонта событий, из-под которого не может выйти ни один сигнал, и свойства недр черной дыры, внутри которой время направлено радиально к ее центру. Для нужд астрофизики очень важно понимать, как вычислить орбиты массивных объектов, захваченных гравитационным притяжением шварцшильдовской черной дыры, и поэтому мы посвятим значительную часть этой главы описанию таких орбит и тому, как они выглядят с точки зрения удаленного наблюдателя. Мы также приложим все силы, чтобы объяснить (при отсутствии каких-либо экспериментальных подтверждений!), что, как нам кажется, должно произойти с объектом, который падает в шварц-шильдовскую черную дыру. Наконец, мы обсудим два неожиданных следствия существования шварцшильдовских черных дыр – белые дыры и кротовые норы, которые, вероятно, не имеют отношения к черным дырам, образованным в результате гравитационного коллапса старых звезд, но, тем не менее, являются частью современного понимания решения Шварцшильда. Но прежде чем мы всем этим займемся, попробуем сначала прямо ответить на вопрос: что представляет собой метрика Шварцшильда?

Вдали от горизонта она очень близка метрике Минковского, которую мы описали в главе 1. Другими словами, вдали от масс вещества пространство-время почти плоское и наблюдатели, находящиеся в нем, могут адекватно описать свои движения, а также эффекты относительного движения, такие как замедление времени и сокращение длины, с помощью одной лишь специальной теории относительности. С приближением к горизонту начинает действовать гравитационное замедление времени, о котором мы говорили в главе 2. Как отмечалось в предисловии, на горизонте событий характер хода времени полностью меняется, но, так как это очень сложная история, мы пока ограничимся областью пространства-времени вне горизонта. Здесь замедление времени полностью описывается функцией хода, которая является одним из компонентов метрики Шварцшильда. Остальная часть метрики Шварцшильда описывает трехмерное искривленное пространство вокруг черной дыры, которое находится под действием ее тяготения. Мы можем представить эти три пространственных измерения как радиус плюс два угловых измерения. Тогда двигаться в радиальном направлении означает двигаться либо прямо вверх, от черной дыры, либо вниз, в направлении ее центра. Движение по одному из угловых измерений означает, что мы обращаемся вокруг черной дыры на одном и том же радиальном расстоянии от нее.

Может показаться немного непонятным, чтó в решении Шварцшильда означает слово «радиус», так как вы не можете аккуратно измерять расстояния от центра черной дыры: под горизонтом событий находится сингулярность, которая разрушает все, что с ней соприкасается. Правильнее будет представлять себе радиус, измеряя длину окружности, в центре которой расположена сингулярность. Эта окружность может целиком лежать вне горизонта событий, на самом горизонте или даже внутри него. Если она лежит вне горизонта, то можно представить себе мысленный эксперимент, который позволил бы нам измерить длину окружности. Для этого потребовалось бы очень много наблюдателей: назовем их Алиса, Боб, Билл, Брюс, Барни и так далее, заканчивая Бушем. У каждого из них есть ракета, на которой можно добраться до любой точки на окружности. Дадим каждому наблюдателю по лазеру, а Алисе еще и секундомер. В соответствии с нашей инструкцией, Алиса должна послать лазерный импульс одному из своих соседей (скажем, Бобу) и в тот же момент запустить секундомер. Как только Боб получит от Алисы лазерный импульс, он тут же посылает из своего лазера импульс Биллу, Билл – Брюсу, и так далее по кругу. В конце концов Буш посылает сигнал Алисе, и, получив его, она останавливает секундомер. Умножив общее время, записанное секундомером Алисы, на скорость света, мы получим длину, которую можно с полным основанием назвать длиной окружности, а ее радиус легко вычислить, разделив длину окружности на 2π.

Рис. 3.1. Радиальное и угловые измерения в решении Шварцшильда.

Вне горизонта эти три направления представляют три измерения пространства. Радиус определяется так, чтобы длина окружности с центром в центре черной дыры была равна 2πr.

Определив радиус именно таким образом, мы можем теперь вернуться к явлению, которое было описано в главе 2: к тому, что пространство немного «раскрывается» в тех областях, где время замедляется. Допустим, у нас есть черная дыра, содержащая ровно одну солнечную массу, так что ее горизонт имеет радиус 3 километра. Теперь рассмотрим две окружности с центром в точке сингулярности: одну радиусом 10 километров, а другую радиусом 10 километров плюс 1 метр. Как должно быть ясно из предыдущего абзаца, когда мы говорим, что радиус первой окружности равен 10 километрам, мы имеем в виду, что ее длина равна 2π, умноженным на 10 километров; те же рассуждения можно повторить и для второй, чуть большей окружности. В плоском пространстве эти две окружности отстояли бы друг от друга ровно на 1 метр, то есть если бы вам надо было перейти с первой окружности на вторую в радиальном направлении, вам просто пришлось бы пройти 1 метр по направлению от центра. В решении Шварцшильда вам придется отойти от первого круга чуть дальше, чем на 1 метр, – примерно на 1,2 метра. Это просто голый факт. В решении Шварцшильда гравитационное красное смещение замедляет время ровно во столько же раз, во сколько растягивается радиус. Другими словами, функция хода, описывающая скорость течения времени, идеально коррелирует с другой метрической функцией, определяющей дополнительное расстояние, которое вам придется пройти в радиальном направлении от центра по сравнению с расстоянием, соответствующим плоскому пространству.

В нескольких предыдущих абзацах мы уже рассказали почти обо всех аспектах исходного решения, полученного Шварцшильдом. Осталось поговорить только об одном: о точном выражении для функции хода. Вдали от горизонта она равна единице – это означает, что время идет с той же стандартной скоростью, что и в плоском пространстве-времени. На горизонте функция хода равна нулю: обычное время здесь останавливается. Фактически это один из способов понять, что собой представляет горизонт. Между этими двумя положениями функция хода плавно меняется от нуля до единицы. Как именно это происходит? Функция хода равна квадратному корню из единицы минус некоторая постоянная, деленная на радиус. Эта формула немного трудна для произнесения, поэтому запишем ее:, где N – функция хода, r – радиус, а rs – радиус горизонта, называемый радиусом Шварцшильда. С точностью до некоторых множителей шварцшильдовский радиус равен массе черной дыры. Все эти подробности Шварцшильд сумел извлечь из решения уравнений Эйнштейна. Неудобство решения Шварцшильда заключается в том, что функция хода на горизонте обращается в ноль, а радиальное растяжение, соответственно, становится бесконечным. В течение долгого времени считалось, что это, казалось бы, сингулярное поведение указывает на какую-то неправильность в метрике Шварцшильда. На самом деле неправильность заключается в координатах, которые мы выбрали для описания времени и радиуса: эти координаты лучше всего приспособлены для описания наблюдателей, парящих в фиксированных точках вне горизонта. Функция хода, которую мы обсуждали, тоже описывает гравитационное красное смещение именно для таких наблюдателей. То, что функция хода обращается в ноль на горизонте, просто означает, что парить, находясь на горизонте черной дыры, невозможно! Неудивительно, что метрика выглядит сингулярной с невозможной точки зрения! Вот если бы кто-нибудь описывал метрику Шварцшильда с точки зрения наблюдателя, свободно падающего в черную дыру, в положении горизонта не было бы ничего сингулярного или просто необычного. Различие между парящим и свободно падающим наблюдателями можно отразить преобразованием координат, несколько напоминающим преобразования Лоренца, но более сложным. После такой замены координат, в которых смешаны время и радиус, решение Шварцшильда на горизонте становится идеально гладким. Остается только сингулярность в центре черной дыры.