Маленькая книга о черных дырах - Франс Преториус

Центростремительный ход времени внутри горизонта – настолько важная в физике черных дыр идея, что для лучшего ее понимания мы вернемся к языку дифференциальной геометрии. Вспомним, что метрика пространства-времени играет двойную роль: она задает собственное время между времениподобными разделенными событиями и собственное расстояние между пространственноподобными разделенными событиями. И существует прекрасный способ объединить обе эти роли пространственно-временной метрики в одной формуле. Для этого мы напишем формулу не для расстояния, а для квадрата расстояния между двумя близкими событиями. Если квадрат расстояния положителен, значит, эти события разделены пространственноподобно, а если он отрицателен, то они разделены времени-подобно, и то, что мы принимали за квадрат расстояния, в действительности является отрицательным квадратом собственного времени между событиями. В решении Шварцшильда, как и в любом другом решении уравнений Эйнштейна, формула для метрики (основанная на функции хода, радиальном растяжении масштабов и т. д.) в действительности представляет собой одну из этих формул для квадрата расстояния, который может приобретать положительные или отрицательные значения. Для двух событий, немного разнесенных в радиальном направлении, квадрат расстояния между ними положителен над горизонтом, но отрицателен под ним. Последний пункт является ключевым: отрицательный квадрат расстояния означает, что события разделены времениподобно. Другими словами, радиус становится времениподобным, а время – пространственноподобным. Как ни странно все это звучит, ничего особенно необычного с кривизной геометрии Шварцшильда здесь не происходит; просто обычные понятия времени и расстояния при пересечении горизонта отчасти меняются местами.

Но несмотря на это их смешение, внутри горизонта наше исходное определение радиуса в решении Шварцшильда сохраняет свою силу: даже внутри черной дыры радиус все равно остается равным длине окружности с центром в начале отсчета, деленной на 2π. Это можно выразить и по-другому: площадь сферы при любом данном радиусе в решении Шварцшильда в 4π раза больше квадрата радиуса – формула, которую учат в школе. Но внутри черной дыры ее истинное значение становится даже немного пугающим: ведь радиус здесь, как мы только что узнали, является также и временем, и поэтому сфера, о которой мы говорим, представляет собой полную протяженность пространства в двух угловых направлениях в фиксированный момент времени. Когда время идет вперед (что означает движение радиуса внутрь), сфера становится всё меньше, меньше и меньше, а потом – бабах! – и вот она, сингулярность!

Чтобы объяснить наше «бабах!» при приближении к сингулярности, надо рассказать о приливных силах. Как хорошо понимал Ньютон, океанские приливы, которые происходят у нас на Земле, – это проявление гравитационного притяжения нашей планеты Луной[8]. Луна немного сильнее притягивает ту сторону земного шара, которая обращена к ней, чем противоположную. Это неравенство сил чуть-чуть вытягивает Землю в направлении Луны, что сказывается на форме всей Земли, но так как вода – субстанция текучая, то океаны реагируют на него заметнее, чем суша. В сумме приливные силы от Луны действуют так, как если бы они тянули к Луне ту сторону Земли, которая ближе к ней, при этом вытягивая противоположную сторону Земли в обратном направлении – от Луны. Это поначалу интуитивно кажется недоразумением: мы же знаем, что тяготение – это сила притяжения, а не отталкивания! Дело в том, что приливные силы – это результирующая, которая получается после учета усредненного гравитационного воздействия Луны на Землю. Это воздействие немного меняет орбитальное движение Земли, а приливные силы несколько растягивают ее.

Рис. 3.4. Падение зонда внутрь черной дыры: вид снаружи горизонта событий.

Рис. 3.5. Падение зонда внутрь черной дыры: вид снаружи горизонта событий.

Под горизонтом зонд вовлекается в пространственно-временной коллапс.

По мере того как «время» движется от r = rs на горизонте событий к r = 0 в сингулярности, зонд растягивается до бесконечности в одном пространственном направлении (“t”) и сжимается до нуля в двух пространственных сферических направлениях.

Когда наш зонд проваливается сквозь горизонт (рис. 3.4 и 3.5), он, в принципе, уже испытывает некоторое воздействие приливных сил, но незначительное, – ведь черная дыра такая огромная, а зонд довольно маленький, – ну, скажем, всего метр в поперечнике. Но внутри черной дыры эта ситуация быстро меняется. Как мы уже говорили, если уж зонд оказался под горизонтом, никакое ускорение не способно помочь ему избежать сингулярности. По сути, оказывается, что если мы хотим максимизировать собственное время жизни зонда прежде, чем он найдет свой безвременный конец, то лучшее, что мы можем сделать, – не заставлять его ускоряться вообще. Пусть он продолжает двигаться по геодезической. Тогда он войдет в сингулярность примерно через 27 секунд после пересечения горизонта. Приливные силы, вызванные гравитационным притяжением черной дыры, будут быстро расти по мере того, как зонд приближается к сингулярности, и к тому моменту, когда до входа в нее останется примерно от 10 до 100 микросекунд (точная цифра зависит от того, насколько прочен металл, из которого сделан зонд), его корпус разлетится на части. Растущая мощь приливных сил разнесет обломки зонда на еще более мелкие кусочки, а потом и эти кусочки распылятся на составляющие их атомы. Но и на этом дело не кончится – вскоре приливные силы вырастут настолько, что оторвут все электроны от атомных ядер, затем разорвут и сами ядра на протоны и нейтроны, а их – на кварки и глюоны. Действительно, «бабах»! Что будет дальше, неизвестно, потому что, насколько мы знаем, кварки, глюоны и электроны – точечные неделимые объекты. Но мы точно можем сказать, что два угловых направления в трехмерном пространстве сами сжимаются все сильнее и сильнее по мере приближения к сингулярности, а третье пространственное направление, соответствующее тому, что мы раньше, вне черной дыры, называли временем, испытывает еще более радикальное растяжение. В общем, всё, включая и наш зонд, сплющивается и растягивается в бесконечно тонкую линию.

Похоже, теперь мы исследовали решение Шварцшильда от начала до рокового конца. Поистине чудесным образом оно в простой и точной форме характеризует геометрию искривленного пространства-времени, в котором мы живем, и одновременно позволяет дать приближенное описание пространства-времени в окрестностях самого массивного объекта нашей Галактики, колоссальной черной дыры в ее центре. Сама по себе шварцшильдовская черная дыра абсолютно статична; она затаилась, как паук, в центре искривленной геометрической сети. Как мы теперь знаем, объекты, пролетающие слишком близко к ее горизонту, должны изо всех сил вырываться из пут ее притяжения, а всё, что пересекает ее горизонт (по крайней мере, мы так думаем!), очень скоро «переваривается» при помощи приливных сил, превращаясь в непредставимо тонкий поток вещества, устремляющийся в сингулярность.