Нечеткая логика - Феликс Ланге

Описания делятся на группы: логические и фактические; математические и научные; корреспондентные и последовательные. Это разделение зависит от точности. Логические заявления либо абсолютно неточны, либо абсолютно точны. Все или ничего. Фактические заявления частично точны или частично неточны.

Логическое и фактическое не пересекается. Это привело к тому, что философы видят логические истины лишь как крайности на гранях фактических истин точно так же, как черное и белое может выражать крайние степени серого оттенка.

Выглядит иронично, но неточность занимает важное место в науке. Ни одна научная гипотеза и ни одна научная теория не может быть на 100 % точной. Статус 100 %-ной истины присущ только математике, логике и тавтологии. Неточность пронизывает науку насквозь. Цель науки – максимально исключить неточность, исключить ее настолько, насколько возможно. Даже если бы мы исключили всю нечеткость и размытость из утверждений, проблема бы все равно имела место. Ученые постоянно стремятся к точности и четкости.

Итак, «премия Хемингуэя» могла быть присуждена тому кто сделает такое утверждение о факте, которое на 100 % истинно или на 100 % ложно. Чтобы получить эту награду, ученый должен доказать точное соответствие между словами, объектами и даже их молекулами. Затем он должен подтвердить, что факт соответствует заявлению. После этого ученому будет необходимо доказать, что факт ровно на 100 % точно соответствует заявленному им. Это означает, что необходимо применить научный метод для проверки гипотезы.

Западные философы стали большими энтузиастами в конкуренции за так называемую «премию Хемингуэя» с первых дней появления философии. Впрочем, вся философия сводится к тому, чтобы делать «определенные» утверждения о мире, делая логические заявления о фактах, пытаясь «доказать» немотивированные умозаключения. Идеализм и эмпиризм проистекают из попыток доказать утверждение «мир реальный» или «мир существует». Как вы проверите данную гипотезу? Мыслительные доказательства составляют идеалистическую категорию тестовых процедур: «Только идеи реальны, и у меня есть идеи», – как сказал однажды Платон.

Два события в начале XX века породили нечеткую, или «туманную логику», как ее в то время называли философы. Во-первых, логик Бертран Рассел вновь открыл и раскрыл классические греческие парадоксы на основе современной математики. Затем физик Вернер Гейзенберг обнаружил «принцип неопределенности» в квантовой физике. Парадокс Рассела положил конец тысячелетию слепой веры в точность математики, двухвалентной математики. Некоторые математики описали данный эффект как «потерянный рай».

В начале XX века Рассел заложил логические основы для нечеткой, неопределенной логики, но никогда не концентрировался на данном вопросе и не занимался им всерьез. Но стоит отметить, что, по крайней мере, он наконец выпустил серого кота из черно-белой сумки.

Принцип квантовой неопределенности Гейзенберга закончил или, по крайней мере, помял наше слепое верование в точность науки и фактических истин. Эта вера росла и развивалась со времен Исаака Ньютона, когда она в значительной степени вытесняла веру в религию и Бога. Теперь наука стала более свободной и смогла освещать новые пути. Сначала мы рассмотрим парадоксы Рассела и принцип неопределенности Гейзенберга и поглядим, где заканчивается западная логика и начинается размытость.

Путь от факта А к факту не А

Рассмотрим гору песка. Гора ли это? Да. Выбросьте горсть песка из этой кучи, замените часть песка зерном. Будет ли гора песка все еще являться горой песка? Да. Продолжайте убирать песок и задавать себе этот двухвалентный вопрос – и в конце концов вы окажетесь у пустоты: перед вами не будет ни песчинок, ни горы песка. Гора песка превратилась в ничто.

Парадокс Кучи – логический парадокс, сформулированный Евбулидом из Милета (IV век до н. э.), связанный с неопределенностью предиката «быть кучей». Формулировка парадокса основана на базисной предпосылке, согласно которой одно зернышко не образует кучи, и индуктивной предпосылке, по которой добавление одного зернышка к совокупности, кучей не являющейся, несущественно для образования кучи. При принятии этих предпосылок никакая совокупность из сколь угодно большого количества зерен не будет образовывать кучи, что противоречит представлению о существовании кучи из зерен.

Греческое слово sorites означает логическую цепочку высказываний по принципу: «Если А, тогда В; Если В, то тогда и С; Если С… Если Y, то Z», и так далее. Получается, что первое слагаемое влечет за собой последнее: если А, то Z. Утверждения словно спускаются по лестнице.

Бертран Рассел привел пример мужской головы, обрамленной волосами, и задал вопрос, был ли мужчина лысым. Если мы будем состригать волосы с мужской головы по частям и то и дело задаваться вопросом, лысый ли мужчина, то не сможем утвердительно ответить на данный вопрос до тех пор, пока не сострижем все волосы с головы мужчины. Парадокс кучи звучит и выглядит более логично, поскольку в нем мы можем наблюдать последовательность фактов. Например: ваш мозг жив? Да. А если мы убьем одну его живую клетку, будет ли он все еще являться живым? Да. Мы продолжим задавать вопросы до тех пор, пока, в конечном итоге, спрашивать будет уже не о чем. Теперь попробуем перевернуть игру наоборот и представим, что мы имеем дело с безжизненным замороженным мозгом, к которому применили умную армию нечетких роботов, которые в свою очередь являются специалистами в области молекулярной инженерии и восстанавливают молекулы в мертвых клетках мозга и оживляют их. Мозг мертв? Да, он все еще мертв. Восстановим еще одну его клетку, затем еще одну, словно механик часть за частью чинит разбитую машину, и в конечном итоге ваш мозг снова живет, и вы снова живете. Что-то вроде этого случается каждое утро, когда мы просыпаемся и переходим от сна к бодрости.

Эти примеры могут показаться смешными и изобретательными для подтверждения утверждения о том, что все включает Парадокс Кучи. Поэтому рассмотрим любую старую вещь, сделанную из чего угодно. Рассмотрим камень или стул, планету или вовсе Вселенную. Они сделаны из молекул. Вещи и люди – это просто наборы молекул, мешки с атомами. Некоторые молекулы принадлежат к веществу, а остальные – нет. По крайней мере, согласно двухвалентной логике. Молекулы, выходящие за границы предмета, бросают вызов классификации.

Проще говоря, Парадокс Кучи состоит в следующем: если мы рассмотрим кучу песка, из которого постепенно удаляются песчинки, то можно построить рассуждение, используя утверждения: 1000000 песчинок – это куча песка; куча песка минус одна песчинка – это по-прежнему куча песка.

Если без остановки продолжать второе действие, в конечном счете это приведет к тому, что куча окажется состоящей из одной песчинки. На первый взгляд есть несколько способов избежать этого заключения. Можно возразить первой предпосылке, сказав, что миллион песчинок – это не куча. Но вместо 1000000 может быть сколь угодно другое большое число, а второе утверждение будет верным при любом числе с любым количеством нулей.