Тайны чисел. Математическая одиссея - Маркус Дю Сотой

В начале XX в. французский математик Анри Пуанкаре задался вопросом о том, сколько имеется топологически различных поверхностей. Это соответствует нахождению всех возможных форм, на которых мог бы жить наш двумерный космонавт из игры «Астероиды». Пуанкаре интересовался этими вселенными с топологической точки зрения, поэтому две вселенные должны считаться одинаковыми, если одну из них можно деформировать в другую непрерывным образом, не делая разрезов. Например, двумерная сфера топологически эквивалентна двумерной поверхности мяча для игры в регби, потому что одну можно преобразовать в другую. Но эта сферическая вселенная топологически отлична от тора, по которому летает двумерный космонавт, потому что сферу нельзя деформировать в бублик, не делая в ней разрезов или склеек. Но какие другие формы имеются?

Рис. 2.39. Первые четыре формы в топологической классификации двумерных поверхностей, предложенной Анри Пуанкаре

Пуанкаре сумел доказать, что, какой бы сложной ни была форма, ее всегда возможно деформировать непрерывным образом в одну из следующих форм: сферу, тор с одной дыркой, тор с двумя дырками либо тор с любым конечным числом дырок. С топологической точки зрения это полный список всех возможных вселенных для нашего двумерного космонавта. Именно количество дырок – которое математики называют родом поверхности – характеризует форму. Так, чайная чашка топологически эквивалентна бублику, потому что у них по одной дырке. У чайника же две дырки, одна в носике, а другая в ручке, и его можно преобразовать так, чтобы он выглядел как брецель[6] с двумя дырками. Наверное, необходимы большие усилия, чтобы понять, почему форма на рис. 2.40, в которой также две дырки, может быть деформирована в брецель с двумя дырками. Кажется, что из-за зацепления бубликов потребуется разрезать форму, чтобы успешно деформировать ее, но это не так.

Рис. 2.40. Как расцепить два кольца, непрерывно деформируя их, но не делая разрезов?

В конце главы я объясню, как расцепить кольца, не разрезая.

В древние времена люди полагали, что Земля плоская. Но, как только они начали путешествовать на большие расстояния, вопрос крупномасштабной формы Земли стал особенно важен. В плоском мире, как считалось, при достаточно долгом странствии можно дойти до края и упасть с него – если, разумеется, мир не бесконечный и тогда нельзя достичь края.

Во многих культурах начали осознавать, что Земля, скорее всего, изогнута и конечна. Самое очевидное предположение для ее формы, несомненно, шар, и несколько древних математиков сделали невероятно точные расчеты его размера, основываясь только на анализе того, как изменяется тень на протяжении дня. Но почему ученые могли быть уверены, что поверхность Земли не сложена в какую-то более интересную форму? Откуда они знали, что мы не живем, скажем, на поверхности гигантского бублика, подобно космонавту из «Астероидов», запертому в своей бубличной двумерной вселенной?

Чтобы найти ответ, отправимся в воображаемое путешествие в этих альтернативных мирах. Давайте поместим исследователя на поверхность планеты и скажем ему, что он находится либо на идеальной сфере, либо на идеальном бублике. Как он сумеет различить эти две возможности? Мы предложим ему взять ведерко белой краски и кисть и идти по прямой линии по поверхности планеты, отмечая свой путь. В конечном счете исследователь вернется на то место, с которого начал движение, прочертив при этом гигантский белый круг вокруг планеты.

Теперь мы дадим ему ведерко с черной краской и скажем идти в другом направлении. На сферической поверхности Земли, какое бы новое направление он ни выбрал, черный путь всегда пересечет белый путь до того, как исследователь вернется к старту. Помните, что он всегда путешествует по прямой линии на поверхности. Точкой, где два пути пересекутся, будет «полюс», противоположный точке, с которой исследователь начинает движение.

Рис. 2.41. Два пути на сфере пересекаются в двух местах

На поверхности планеты, имеющей форму бублика, положение вещей совсем другое. При путешествии с белой краской исследователь мог отправиться к внутренней части бублика, пройти через дырку и выйти на другой стороне. Но если при путешествии с черной краской он отправится по пути, образующему угол 90° с белым путем, то он пройдет вокруг дырки, не заходя внутрь ее. Итак, возможно совершить два путешествия, у которых пересечение происходит лишь в месте начала движения.

Рис. 2.42. На торе есть пути, пересекающиеся один раз

Проблема в том, что поверхность планеты, вообще говоря, не является идеальной сферой либо поверхностью идеального бублика – она искажена. По планете могут ударить метеориты и оставить вмятины, так что исследователь, путешествующий по прямой линии, дойдя до вмятины или нароста, изменит направление своего движения. В действительности вполне может быть такое, что исследователь, начав движение по прямой линии, никогда не вернется в точку старта. Поскольку формы с вмятинами представляют собой лишь слегка искаженные версии сферы или поверхности бублика, возможно, существуют другие способы различить их? Именно здесь проявляется сила топологического подхода, потому что для него не столь важен кратчайший путь между точками, а то, можно ли преобразовать один путь в другой.

Давайте теперь отправим нашего исследователя в путь с белой эластичной веревкой, которую он будет класть на поверхность за собой. Когда путешественник снова вернется к началу, он соединит концы веревки, так что получится петля вокруг планеты. Затем он пойдет в другом направлении с черной эластичной веревкой, пока не вернется к месту старта. Если планета представляет собой шар с несколькими пиками или провалами, то исследователь сможет, не разрезая веревки, переместить черную петлю поверх белой. Но, если у планеты форма бублика, такое не всегда возможно. Если черная веревка обернута вокруг планеты, заходя в дырку бублика, а белая веревка уложена по кругу, проходящему по внешнему краю бублика, то нельзя совместить черную и белую петли, не разрезая их. Итак, путешественник сможет сказать, есть ли в планете дыра, совершив несколько путешествий. Не покидая поверхности планеты, он выяснит, какова ее форма.

Вот два других, более курьезных способа сказать, находитесь ли вы на планете в форме шара или в форме бублика. Представьте, что обе планеты покрыты мехом. Исследователь на бублике сумеет так причесать его, что мех всюду будет лежать гладко. Например, зачесывая мех в дыру с одной стороны и из дыры с другой стороны. Но у исследователя на меховом шаре будут проблемы; как бы он ни старался, обязательно найдется место, где мех будет торчать.