Тайны чисел. Математическая одиссея - Маркус Дю Сотой

Любопытно, что у этого обстоятельства имеется странное следствие для погоды на этих двух планетах. Можно представить, что направление меха характеризует то направление, в котором дует ветер в этих двух различных мирах. На шаре всегда найдется место, где не дует ветер (там, где торчит мех). Но на бублике ветер может дуть по всей планете.

Другое отличие этих двух планет состоит в картах, которые на них могут быть нарисованы. Поделите каждую из планет на разные страны и затем попытайтесь раскрасить карты так, чтобы любые две страны с общей границей были окрашены в разные цвета. Для сферической поверхности Земли вам всегда будет достаточно лишь четырех красок. Поглядите на фрагмент карты Европы, на то, как Люксембург втиснулся между Германией, Францией и Бельгией, – и становится понятно, что нужны как минимум четыре краски. Но удивительно именно то, что больше и не потребуется – не существует возможности перекроить границы в Европе так, чтобы заставить картографов покупать пятую краску. Но доказать это утверждение нелегко. Для этого математикам пришлось прибегнуть к помощи компьютера – он проверил несколько тысяч карт, чтобы удостовериться, что не существует какой-то патологической, для которой понадобится пятая краска. На рисование всего этого от руки ушло бы слишком много времени.

Рис. 2.43. Для того чтобы раскрасить карту Европы, понадобится четыре краски

А что же у картографов, живущих на планете в форме бублика, – сколько ведерок с краской потребуется им? Оказывается, существуют карты для поверхности бубличной планеты, для которых нужны семь красок. Вспомните, как для игры «Астероиды» мы сворачивали прямоугольный экран, чтобы изготовить бублик. Мы соединяли верх и низ, чтобы сделать цилиндр, а затем соединяли концы цилиндра и получали бублик. На рис. 2.44 представлена карта для поверхности бублика до проведения этих соединений. Для раскрашивания этой карты нужно семь красок.

Теперь, после того как мы совершили путешествие по математике пузырей и бубликов, фракталов и пены, мы готовы взяться за наиглавнейший вопрос математики формы.

Рис. 2.44. Сверните эту карту в форму бублика, для чего сначала совместите верх и низ, а потом соедините концы. Вы обнаружите, что вам понадобится семь красок, чтобы раскрасить ее

Над этим вопросом человечество билось на протяжении тысячелетий. Древние греки полагали, что Вселенная ограничена небесной сферой (твердью), на внутренней поверхности которой нарисованы звезды. Эта сфера вращалась, совершая оборот за 24 часа, что объясняло движение звезд. Но эту модель нельзя признать удовлетворительной: если мы отправимся в космическое путешествие, то что же – в конечном счете налетим на стенку? А если так, то что находится по ту сторону стенки?

Исаак Ньютон одним из первых предположил, что у нашей Вселенной, возможно, нет границы – что она бесконечна. Сколь ни привлекательна идея бесконечной Вселенной, она не соотносится с современной теорией возникновения Вселенной при Большом взрыве и ее последующего расширения из концентрированного сгустка материи и энергии. Мы теперь считаем, что в пространстве находится лишь ограниченное количество материи. Но как Вселенная может быть конечна и при этом не иметь границы?

Эта проблема аналогична той, что стояла перед нашими исследователями мира, у которого конечная площадь поверхности, но нет ни краев, ни границ. Правда, вместо того чтобы быть прижатыми к двумерной поверхности, мы находимся внутри трехмерной Вселенной. Существует ли элегантный способ найти форму этой Вселенной и разрешить очевидный парадокс того, что у нее нет границ и при этом она конечна?

Потребовалось открытие четырехмерной геометрии форм в середине XIX в. для того, чтобы у нас появился возможный ответ. Математики поняли, что четвертое измерение дает им достаточно пространства, чтобы сложить нашу трехмерную Вселенную в формы, у которых конечный объем и при этом нет границ. Так же происходит с конечной по площади двумерной поверхностью Земли или поверхностью бублика, у которых нет краев.

Мы уже видели, как конечная двумерная вселенная в игре «Астероиды» в действительности является поверхностью трехмерного бублика. Но мы же трехмерные путешественники, которые могут перемещаться и в третьем измерении. Возможно, Вселенная, в которой мы живем, подобна вселенной из игры «Астероиды»? Начнем с того, что сделаем стоп-кадр Вселенной после Большого взрыва в тот момент, когда она расширилась до размера вашей спальни. Эта Вселенная размером со спальную комнату конечна по объему, но у нее нет границ – потому что различные части спальни соединены между собой довольно любопытным образом.

Представьте, что вы стоите в середине комнаты лицом к стене (я предполагаю, что у вашей спальни форма куба). Когда вы идете вперед, то не ударяетесь в стену перед вами, а проходите через стену, бывшую за вами. Сходным образом когда вы проходите через стену за вами, то появляетесь из стены впереди. Если вы поменяете направление на 90° и направитесь к стене слева, то, пройдя через нее, вы выйдете из стены справа (и наоборот). Итак, части вашей спальни соединены как в игре «Астероиды».

Но мы – трехмерные путешественники в пространстве, которые могут отправиться и в третьем направлении. Когда мы подлетаем к потолку, то не отскакиваем от него, а проходим сквозь него и выходим из пола. При путешествии в противоположном направлении мы проходим через пол и выходим из потолка.

При этом форма Вселенной соответствует поверхности четырехмерного бублика, или гипербублика. Но подобно тому, как космонавт, запертый в игре «Астероиды», не может выйти из своего двумерного мира, чтобы разглядеть, как свернута вселенная, мы не в состоянии увидеть этот гипербублик. И все же, используя язык математики, мы можем испытать его форму и исследовать его геометрию. К настоящему времени наша Вселенная заметно расширилась за пределы спальной комнаты, но, возможно, она по-прежнему устроена как поверхность гипербублика. Подумайте о свете, который распространяется по прямой линии от Солнца. Быть может, он не исчезает на бесконечности, а, образуя петлю, возвращается назад и попадает на Землю. Если это так, одна из наблюдаемых нами далеких звезд – это наше Солнце, потому что его свет распространялся по всему гипербублику и наконец пришел на Землю. Следовательно, мы можем видеть наше Солнце, когда оно было значительно моложе.

Это кажется невероятным, но представьте, что вы сидите в своей спальне, которая соответствует мини-бублику Вселенной, и зажигаете спичку. Когда вы глядите на стену перед собой, то видите пламя спички перед вами. Теперь обернитесь и посмотрите на противоположную стену. Вы снова увидите спичку, но теперь на несколько большем расстоянии, потому что свет от спички сначала идет к стене перед вами, а затем проходит через противоположную стену и попадает вам в глаз.