Тайны чисел. Математическая одиссея - Маркус Дю Сотой

В своей основе умение побеждать в этой игре состоит в обнаружении закономерностей, что является выраженной математической особенностью. Если вы можете предсказать, как поступит ваш оппонент, исходя из сложившейся у него модели поведения, то вы готовы к победам. Проблема только в том, что вы не желаете, чтобы в вашей реакции было легко заметить ритм, иначе преимущество перейдет к оппоненту. Поэтому состязание обставлено массой психологических нюансов, когда каждый из соперников пытается заметить закономерности в игре оппонента и догадаться, как он мог бы поступить.

Игра «Камень, ножницы, бумага» недавно переросла рамки детских площадок и вышла на уровень международных соревнований. Каждый год чемпиона мира по «Камню, ножницам, бумаге» наряду с вожделенным титулом ожидает приз в $ 10 000. В списке славы доминировали участники из США, но в 2006 г. житель Северного Лондона Боб Купер по прозвищу Камень сумел сдержать свои нервы и завоевать звание. Как он готовился к турниру? «Несколько часов тяжелых тренировок перед зеркалом каждый день». Полагаю, что это помогает укрепить психологическую подготовку к противостоянию с оппонентом, намеревающимся читать ваши мысли. А каков секрет его успеха? Его прозвище подталкивает соперников к мысли, что он будет чаще обычного выкидывать «камень». Поэтому у Боба появляется возможность изрезать «ножницами» «бумагу», которую соперники готовят, чтобы обернуть его «камень». Но после того, как оппоненты догадываются о его уловке, Боб Купер использует математический подход.

С математической, а не психологической точки зрения лучшей стратегией было бы сделать ваш выбор совершенно случайным. Тогда вашему оппоненту будет не на что опираться, потому что в совершенно случайной череде событий то, что произошло ранее, никоим образом не влияет на последующее. Если я подкину монету десять раз, то первые девять бросков никоим образом не могут повлиять на исход последнего броска. Даже если у вас девять раз выпал орел, это не означает, что в десятый раз должна выпасть решка, чтобы навести баланс. У монеты нет памяти.

Стратегия, опирающаяся на рандомизацию, дает вам лишь равный шанс выиграть, потому что при этом игра «Камень, ножницы, бумага» ничем не отличается от подбрасывания монеты для определения победителя. Но, если мне приходится соперничать с чемпионом мира, я соглашусь на любую стратегию, дающую мне тот же шанс выиграть. Мне не приходит в голову много видов спорта, где можно придумать стратегию, дающую вам шанс пятьдесят на пятьдесят победить чемпиона мира. Может быть, спринт на 100 м? Я так не думаю.

Но как можно выбрать ряд исходов и быть совершенно уверенным, что он случаен и не характеризуется какой-то скрытой закономерностью? Это серьезная проблема: мы, люди, печально известны своей неспособностью выдать случайную последовательность – мы настолько склонны к закономерностям, что в любую нашу «случайную» последовательность просачивается структура. Вы можете загрузить PDF-файл с веб-сайта «Тайн 4исел», содержащий игральную кость «Камень, ножницы, бумага». Соберите игральную кость, которая поможет вам делать случайный выбор и победить в игре.

Интуиция зачастую подводит нас в отношении последствий случайности. Давайте я предложу вам пари. Я подкину монету 10 раз. Вы дадите мне £ 1, если случится так, что выпадут подряд три орла или три решки. Если такого не будет, я дам вам £ 2. Согласны ли вы на такое пари?

А если я повышу свою ставку до £ 4? Мне думается, что даже если вы не были уверены сначала, то примете пари теперь. В конце концов, насколько вероятно, что выпадет подряд три орла или три решки при десяти бросках монеты? Как это ни поразительно, такое происходит более чем в 82 % случаев. Поэтому, даже если я выплачиваю по £ 4 за три идущих подряд одинаковых исхода, я не останусь внакладе при достаточно долгой игре.

Точная вероятность того, что при десяти подбрасываниях монеты выпадет подряд три орла или три решки, равна 846/1024. Вот славные подробности того, как можно получить эту вероятность. Достаточно любопытно, что числа Фибоначчи, с которыми мы познакомились в главе 1, являются ключом к подсчету шансов – это еще одно свидетельство того, что они встречаются повсюду. Если я подброшу монету N раз, то имеется 2N различных исходов. Мы обозначим gN количество комбинаций, когда не встречается трех идущих подряд орлов или решек. С этими комбинациями вы выиграете пари. Мы можем сосчитать gN, воспользовавшись правилом для чисел Фибоначчи:

Для приведения чисел в движение нужно только знать, что g1 = 2 и g2 = 4, потому что при одном или двух бросках монеты не может выпасть последовательность из трех орлов или трех решек, ведь мы еще не подкидывали монету три раза. Итак, gN принимает следующий вид:

Следовательно, имеется 1024 – 178 = 846 различных комбинаций после десяти подбрасываний монеты, в которых содержится последовательность из трех идущих подряд орлов или решек. Итак, вероятность выпадения такой последовательности равна 846/1024, и я выигрываю приблизительно в 82 % случаев.

Почему правило Фибоначчи оказывается ключом к вычислению gN? Возьмите все возможные комбинации после N – 1 подбрасывания монеты, в которых нет идущих подряд трех орлов или трех решек. Мы обозначили их число gN – 1. Теперь возьмем такую комбинацию после N бросков, что у броска N был противоположный исход броску N – 1. А сейчас возьмем все комбинации после N – 2 бросков, не содержащие трех идущих подряд орлов или решек. Их число равно gN – 2. Пусть у бросков N – 1 и N был противоположный исход по сравнению с броском N – 2. Таким образом вы генерируете все возможные комбинации после N бросков, не содержащие трех идущих подряд орлов или решек.