Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - Стивен Строгац

В том-то и дело. В науке допустима погрешность в один волосок. А грубая, как якорный канат, – нет.

Галилей продолжил изучать движение брошенных тел, например полет мушкетной пули или пушечного ядра. По какой траектории они летят? Ученый полагал, что движение такого тела складывается из двух разных эффектов, которые следует рассматривать по отдельности: боковое движение, параллельное поверхности земли, в котором сила тяжести не играет роли, и вертикальное движение вверх или вниз, где действует сила тяжести и применим его закон падающих тел. Объединив оба вида движения, он обнаружил, что брошенные тела летят по параболическим траекториям. Вы наблюдаете их всякий раз, когда перебрасываетесь мячиком или пьете воду из питьевого фонтанчика.

Это была еще одна потрясающая связь между природой и математикой и еще одно свидетельство того, что книга природы написана на языке математики. Галилей был в восторге, обнаружив, что парабола, абстрактная кривая, которую изучал его кумир Архимед, существует в реальном мире. Природа использовала геометрию.

Но чтобы прийти к такому пониманию, Галилею нужно было знать, чем можно пренебречь. Как и прежде, приходилось игнорировать сопротивление воздуха – силу, замедлявшую движение летящего тела из-за трения. Для одних видов брошенных тел (камень) такое трение пренебрежимо мало по сравнению с гравитацией, тогда как для других (надувной мяч для пляжа или мяч для настольного тенниса) это не так. Все виды трения, включая сопротивление воздуха, трудны для изучения. По сей день оно остается загадкой и темой активных исследований.

Чтобы получить простую параболу, Галилею нужно было предположить, что боковое движение не замедляется, а продолжается вечно. Это был пример его закона инерции, который гласит, что движущееся тело остается в движении с той же скоростью и в том же направлении, если на него не действуют внешние силы. Для реального брошенного тела сопротивление воздуха будет такой внешней силой. Но, по мнению Галилея, в качестве приближения лучше проигнорировать это, чтобы охватить львиную долю истины и красоты в том, как двигаются предметы.

От качающейся люстры к системе глобального позиционирования

Согласно легенде, Галилей сделал свое первое научное открытие, еще будучи студентом-медиком. Однажды во время церковной службы в Пизанском соборе он заметил, что висевшая над головами люстра раскачивается подобно маятнику[120]. Ее двигали потоки воздуха, и Галилей подметил, что для одного колебания всегда требуется одно и то же время – независимо от того, сильное оно или слабое. Это удивило его. Как могут большие и маленькие колебания занимать одинаковое время? Но чем больше он над этим думал, тем логичнее казался ответ. Да, при большом отклонении люстра проходила большее расстояние, но и двигалась она быстрее. Возможно, эти два эффекта уравновешиваются? Чтобы проверить эту догадку, Галилей измерил время колебания с помощью собственного пульса. И действительно, каждое колебание длилось одинаковое количество его ударов.

Эта легенда чудесна, и мне хочется в нее верить, однако многие историки сомневаются в ее истинности. Она дошла до нас от первого и самого преданного биографа Галилея – Винченцо Вивиани. Этот молодой человек был помощником и учеником Галилея в конце жизни ученого, когда тот ослеп и жил под домашним арестом. Разумеется, испытывая вполне понятное почтение к своему старому учителю, Вивиани приукрасил пару историй, когда писал биографию ученого после его смерти.

Но даже если история недостоверна (но, может, и нет!), мы точно знаем, что Галилей проводил опыты с маятниками еще в 1602 году и писал о них в книге «Две новые науки». В этой книге, построенной как сократовский диалог, один из персонажей говорит так, словно был тогда в соборе с тем мечтательным юным студентом: «Тысячи раз наблюдал я колебания, в особенности церковных паникадил, подвешенных часто на очень длинных цепях и почему-либо совершающих незначительные движения»[121],[122]. В остальной части диалога разъясняется, что маятнику требуется одно и то же время, чтобы пройти дугу любого размера. Итак, мы знаем, что Галилей был хорошо знаком с явлением, описанным в рассказе Вивиани; остается только догадываться, действительно ли именно он открыл его в молодости.

В любом случае утверждение Галилея, что колебания маятника занимают одно и то же время, не совсем верно; для больших размахов потребуется чуть больше времени. Но если дуга достаточно мала, скажем меньше 20 градусов, то это практически точно. Такая неизменность маятника при небольших колебаниях называется изохронностью, от др.-греч. ίσος (изос) «равный» и χρόνος (хронос) «время». Это свойство создает теоретическую основу для метрономов и маятниковых часов, от обычных напольных до башенных часов в лондонском Биг-Бене. Галилей сам конструировал первые маятниковые часы в мире в последний год своей жизни, но умер, так и не успев их доделать. Первые работающие маятниковые часы появились пятнадцать лет спустя – их изобрел голландский математик и физик Христиан Гюйгенс.

Галилея особенно интриговал (и разочаровывал) открытый им любопытный факт – элегантное отношение между длиной маятника и его периодом (временем, которое потребуется маятнику, чтобы качнуться в обе стороны). Как объяснял ученый, «если мы пожелаем, чтобы один маятник качался в два раза медленнее, чем другой, то необходимо длину его сделать в четыре раза большею»[123]. Говоря языком отношений, он сформулировал общее правило: для тел, подвешенных на нитях разной длины, длины относятся друг к другу как квадраты периодов колебания[124]. К сожалению, Галилею так и не удалось доказать это математически. Это была эмпирическая закономерность, которая нуждалась в теоретическом объяснении. Ученый годами работал над этой проблемой, но так и не смог с нею справиться. С точки зрения современной науки он и не мог этого сделать. Объяснение требовало новой математики, которой не владели ни он, ни его современники. Пришлось ждать Исаака Ньютона и его открытия языка, на котором говорит Бог, – языка дифференциальных уравнений.

Галилей признавал, что изучение маятников многим может показаться крайне скучным[125], хотя более поздние работы показали, что это совсем не так. В математике загадки маятника стимулировали развитие анализа. В физике и технике маятники стали образцами колебаний. Подобно строке Уильяма Блейка, где мир виден в песчинке[126], физики и инженеры смогли увидеть мир в колебании маятника. Везде, где возникают колебания, применяется одна и та же математика. Доставляющие беспокойство движения пешеходного мостика, подпрыгивание автомобиля на амортизаторах, грохот стиральной машины с неравномерной загрузкой, трепетание жалюзи на ветерке, шевеления земли при повторных толчках после землетрясения, гудение флуоресцентных ламп, работающих с частотой шестьдесят герц, – в каждой области науки и техники сегодня найдется свой вариант таких ритмических движений, свой вариант колебаний. Маятник – это их дедушка. Его схема универсальна. Так что скучный – неподходящее слово.