Тайны чисел. Математическая одиссея - Маркус Дю Сотой

Таблица 3.01. Шанс правильно угадать от 0 до 6 номеров национальной лотереи

Если вам когда-либо настолько повезет, что вы выиграете большой приз, вам не захочется, чтобы произошло то, что случилось в Великобритании 14 января 1995 г. Тогда шла лишь девятая неделя национальной лотереи, а джекпот превзошел немалую сумму в £ 16 миллионов. Когда шесть шаров выпали из лототрона, то победители наверняка прыгали у диванов и кричали от счастья. Но когда они пришли за выигрышем, то каждый из них обнаружил, что ему придется поделить джекпот с другими 132 обладателями счастливых билетов. Каждый из победителей получил пустяк в £ 122 510.

Но как получилось, что так много людей угадали правильную комбинацию? Дело заключается в том обстоятельстве, которое я отметил, когда мы рассматривали игру «Камень, ножницы, бумага»: мы, люди, печально известны своим неумением выбирать случайные числа. Нужно принять во внимание, что 14 миллионов человек играют в национальную лотерею, и многих из них притягивают схожие числа, например число удачи 7 либо дни рождений или юбилеев (что исключает числа 32–49). Также для выбора многих людей характерно то, что они стремятся распределить свои числа равномерно.

Вот выигравшие числа девятой недели лотереи:

Рис. 3.03

Такое равномерное распределение чисел не слишком-то характерно для случайных процессов: числа могут собираться вместе и отталкиваться с одинаковой вероятностью. Из 13 983 816 различных возможных комбинаций лотерейных билетов у 6 924 764 будут хотя бы два последовательных номера. Это составляет 49,5 %, что очень близко к половине всех комбинаций. Например, в предшествовавшую неделю выпали номера 21 и 22. А в последовавшую неделю были 30 и 31.

Однако не привязывайтесь слишком к последовательным числам. Вы могли бы решить, что комбинация 1, 2, 3, 4, 5, 6 будет умным выбором. В любом случае, как я надеюсь, к настоящему времени вы понимаете, что эта комбинация столь же вероятна, как и любая другая (то есть крайне маловероятна). Если вы сорвете джекпот с этой комбинацией, вы, наверное, рассчитываете получить выигрыш целиком. Но, оказывается, более 10 000 человек в Великобритании используют эту комбинацию каждую неделю – что лишь показывает, насколько разумно британское население. Единственная проблема состоит в том, что в случае выигрыша вам придется делиться джекпотом с другими 10 000 умными людьми.

Игроки-шулеры и фокусники тасуют карты не так, как прочие люди. Но после нескольких часов тренировки можно освоить прием, называемый совершенной тасовкой[8]. При этом колода карт делится на две равные части, и потом карты из разных половин чередуются одна за другой. Если вы играете в покер, такая тасовка очень опасна.

Давайте представим, что четыре человека сидят за покерным столом: сдающий, его сообщник и два ничего не подозревающих игрока, которых сейчас облапошат. Сдающий кладет четырех тузов на верх колоды. После одной совершенной тасовки тузы разделены одной картой, после еще одной – тремя картами, что идеально подходит для того, чтобы сдающий раздал своему сообщнику четырех тузов.

Совершенная тасовка крайне эффективна и в руках фокусника, который может использовать ее интересное свойство. Если вы возьмете колоду из 52 карт и выполните совершенную тасовку 8 раз, то чудесным образом карты в колоде вернутся к своему первоначальному положению. Человеку со стороны кажется, что тасовка совершенно разупорядочивает колоду. В конце концов, восемь тасовок – более чем достаточно для среднестатистического игрока перед началом игры. Действительно, математики доказали, что для обычного игрока достаточно семи тасовок, чтобы колода полностью потеряла свою первоначальную структуру и стала случайной. Но совершенная тасовка – вовсе не обычная тасовка. Представьте, что колода карт в чем-то соответствует монете восьмиугольной формы и совершенная тасовка поворачивает ее на одну восьмую полного оборота. После восьми таких поворотов монета возвращается к своему первоначальному положению.

Но сколько раз потребуется сделать совершенную тасовку с колодой, в которой более 52 карт, чтобы они вернулись к своему первоначальному положению? Если вы добавите двух джокеров и начнете делать совершенные тасовки, то понадобится 52 манипуляции для полного оборота. Однако когда вы добавите еще десять карт и их станет 64, то потребуется сделать лишь шесть совершенных тасовок, чтобы карты в колоде возвратились к исходному положению. Так что же нам говорит математика о количестве совершенных тасовок, необходимых для того, чтобы карты в колоде из 2N карт (число должно быть четным) вернулись к исходному положению?