Тайны чисел. Математическая одиссея - Маркус Дю Сотой

Пронумеруйте карты 0, 1, 2 и так далее вплоть до 2N – 1, и вы увидите, что совершенная тасовка, по существу, удваивает номер карты. Карта 1 (которая на самом деле является второй картой в колоде) становится картой 2. После еще одной совершенной тасовки она становится картой 4, затем картой 8. Математика будет проще, если мы припишем первой карте номер 0.

Но куда пойдут карты, находящиеся дальше в колоде? Чтобы разобраться в этом, представим часы с часовыми делениями от 1 до 2N – 1. Так, колода с 52 картами соответствует циферблату с делениями от 1 до 51. Если вы хотите знать, куда переместилась карта 32, то удвойте 32. Это означает, что вы стартуете с 32-го часа и отсчитываете 32 часа вперед, что приводит вас к 13 часам. Чтобы понять, сколько раз нужно сделать совершенную тасовку для возвращения всех карт к исходному положению, я должен понять, сколько раз я должен удвоить числа на циферблате для их возвращения к первоначальной позиции. В действительности я должен проследить за числом 1 и понять, сколько раз я должен удвоить его, чтобы вернуться к 1. Вот что происходит на циферблате с 51 часом при последовательном удвоении 1:

То, что срабатывает для 1, также будет срабатывать для всех остальных чисел. По существу, выполнение 8 совершенных тасовок соответствует умножению номеров карт на 28 = 256. Можно понять, что данная операция означает умножение номера на 1, то есть карта остается на своем месте.

Но как долго вам придется выполнять совершенные тасовки с колодой из 2N карт, чтобы те приняли первоначальное положение? Пьер де Ферма доказал, что если 2N – 1 является простым числом и вы будете продолжать удваивать числа на циферблате с 2N – 1 часом, то после 2N – 2 удвоений числа обязательно вернутся на прежнее место. Итак, для колоды из 54 карт, поскольку 54 – 1 = 53 является простым числом, 52 совершенных тасовок будет наверняка достаточно.

Однако в случае, когда 2N – 1 не является простым, нам понадобится несколько более сложная формула для расчета количества необходимых совершенных тасовок. Если 2N – 1 = p × q, где p и q – простые числа, то (p – 1) × (q – 1) совершенных тасовок будет заведомо достаточно, чтобы колода приняла свой прежний вид. Так, для колоды из 52 карт, поскольку 52–1 = 3 × 17, наверняка хватит (3–1) × (17–1) = 2 × 16 = 32 совершенных тасовок. Но в действительности вам достаточно совершить лишь 8 таких манипуляций. (В следующей главе я докажу этот фокус Ферма и объясню, что та же самая математика лежит в основе шифров, которые должны защищать секреты в интернете.)

Математический вопрос, который восходит к работе Гаусса двухсотлетней давности, состоит в следующем: существует ли бесконечно много чисел N, обладающих тем свойством, что колода из 2N карт на самом деле требует полного числа совершенных тасовок? Этот вопрос, как оказывается, связан с гипотезой Римана, задачей на миллион долларов о простых числах, завершающей главу 1. Если простые числа распределены так, как предсказывает гипотеза Римана, то будет бесконечное число колод карт, требующих максимального числа совершенных тасовок. Разумеется, нельзя сказать, что The Magic Circle[9] и картежники по всему миру затаили дыхание в ожидании ответа. Но математикам любопытно знать, как простые числа могут быть связаны с вопросами тасовки карт. Не окажется удивительным, будь они связаны, – простые числа настолько фундаментальны в математике, что появляются в самых странных местах.

Вы в казино у колеса рулетки, и у вас 20 фишек. Вы решили, что попытаетесь удвоить свои деньги, прежде чем уйдете. Если вы поставите фишку на красное или черное, то удвоите ее, если угадаете правильно. Так в чем же состоит правильная стратегия – поставить все свои деньги на красное одним махом или же ставить поочередно одну фишку за другой, пока вы либо не проиграете свои деньги, либо получите 40 фишек?

Прежде чем анализировать эту задачу, вы должны уяснить, что каждый раз, когда делаете ставку, вы, по существу, платите казино небольшой взнос за игру. Это станет понятно, когда вы усредните данные по всем своим выигрышам и проигрышам. Если вы ставите на 17 черное и выпадает это число, то казино возвращает вам вашу фишку и дает в придачу 35. Если бы на колесе рулетки было 36 чисел, то игра была бы справедливой, поскольку 17 черное в среднем выпадало бы один раз из 36. Так что, будь у вас 36 фишек и продолжай вы ставить на 17, то за 36 вращений колеса вы в среднем проигрываете 35 раз и один раз выигрываете, в результате вы остаетесь с теми же 36 фишками, с которыми начали игру. Но на самом деле на европейской рулетке 37 чисел, на которые можно делать ставки (от 1 до 36 и 0, который ни черный, ни красный), но казино платит вам выигрыш, как будто на колесе 36 чисел.

Поскольку на колесе 37 чисел, каждый раз, когда вы ставите £ 1, казино зарабатывает 1/37 × £ 1, что приблизительно составляет 2,7 пенса. Время от времени казино приходится делать большие выплаты какому-то игроку, но в конечном счете оно будет зарабатывать деньги благодаря законам вероятности. А в США шансы игроков еще более неблагоприятны, поскольку там на колесе рулетки 38 чисел: от 1 до 36, а также 0 и 00. Мы уже видели, что ставка на одно число обходится вам в конечном счете в 2,7 пенса. Но вы не обязаны ставить на одно число: вы можете, например, делать ставки, что число будет красное или черное, четное или нечетное, или в диапазоне от 1 до 12. Ваши шансы можно рассчитать таким же способом: по существу, какую бы ставку вы ни делали, она обойдется вам в 2,7 пенса за вложенный £ 1.