Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус Дю Сотой

Мне стало любопытно, почему люди шли в труднодоступные места за той же самой породой, которую можно было добыть гораздо легче.

«У мест есть особая аура, которая остается в предмете после того, как его забирают из такого места, – сказал он. – Так что и в доисторические времена люди выбирали не только короткие, но и длинные пути не без причины».

Затем Макфарлейн отплатил мне той же монетой. Есть ли в математике примеры необычайно плодотворных длинных путей?

Я думаю, одним из таких примеров можно считать гипотезы. Гипотеза подобна горной вершине. Я не хочу подсматривать ответ в конце задачника – это все равно что подниматься на Каирн-Горм на фуникулере. Удовольствие от достижения вершины определяют те дни, даже годы, которые я трачу на восхождение. Правда, ради этого мне вовсе не хочется плестись по скучному пейзажу. Некоторые прогулки по ощущениям неотличимы от тяжелой работы.

В математике существует странное, тонкое противостояние между излишней легкостью, делающей работу скучной, и такой сложностью, которая не позволяет понять, что вообще происходит. В книге «Приключение, тайна, любовная история» (Adventure, Mystery, and Romance: Formula Stories as Art and Popular Culture, 1977) Джон Кавелти описывает аналогичное противостояние в литературе, но его слова применимы и к математике: «Если мы стремимся к порядку и безопасности, то в итоге обязательно получим скуку и однообразие. Отказавшись от порядка во имя перемен и новизны, столкнемся с опасностью и неизвестностью… Историю культуры можно интерпретировать как динамичный конфликт между… стремлением к порядку и желанием избежать скуку»[64].

Иногда часть удовольствия приносит сам тот факт, что к вершине приходится идти длинной дорогой. В течение 350 лет целые поколения математиков пытались доказать Великую теорему Ферма, путешествуя в странные эзотерические миры, пока путь к цели наконец не был найден. Но эти окольные пути и долгие дороги внесли свой вклад в удовольствие от доказательства. Нам пришлось открыть интереснейшие новые математические земли, которые могли бы остаться нетронутыми, если бы мы не были вынуждены огибать непроходимые математические трясины, обнаружившиеся на нашем пути.

Интересно задуматься вот о чем: была бы ценность, которую мы приписываем теореме Ферма, меньше, если бы ее доказательство было коротким и очевидным? Ауру великих недоказанных гипотез – например, гипотезы Римана, – порождают трудность их решения и количество труда, который необходимо вложить в него. Мы уподобляем великие гипотезы восхождению на Эверест. Если бы вершина не была такой труднодоступной, мы, возможно, не так высоко оценивали бы достижения тех, кому удается получить решение.

Я попытался объяснить Макфарлейну, что, как мне кажется, я ценю в математике не столько медленное продвижение по пустошам, сколько моменты, когда передо мной встает гора, через которую я должен найти путь, и то необычайное возбуждение, которое возникает, когда удается найти расщелину, туннель, шорткат, ведущий на другую сторону.

«Я смотрю на те жесты, которыми вы описываете то, что вам приходится делать, и мне кажется, что вы похожи на скалолаза, – сказал он. – Вы выглядите не как пешеход, а как скалолаз, и я говорю о спортивном скалолазании, которое кое в чем отличается от альпинизма, а альпинизм, в свою очередь, отличается от пешей ходьбы по холмам».

Получает ли сам Макфарлейн удовольствие от трудностей скалолазания?

«В течение нескольких лет я был очень неумелым, но очень увлеченным скалолазом, – сказал он. – У скалолазов есть такое понятие – трудный участок восхождения. В каждом хорошем восхождении есть преодоление трудного участка. Судя по всему, это очень похоже на тот процесс работы над задачей, который вы описываете. Есть так называемые задачи по боулдерингу[65]. Начинаешь с чего-нибудь легкого и повторяешь снова и снова, потом доходишь до трудного участка и падаешь. Скала не дается; прыжок никак не получается именно таким, как нужно. А когда наконец удается это сделать – те немногие разы, когда у меня получалось, – это состояние абсолютного восторга. Это тоже решение задач».

Мне действительно знакомо ощущение отчаяния, сменяющегося восторгом, которое может внушить преодоление сложного математического маршрута. Перед самой нашей встречей я смотрел документальный фильм «Фри-соло»[66] (Free Solo, 2018) о поразительном восхождении Алекса Хоннольда на скалу Эль-Капитан в Йосемитском национальном парке без страховки. На его маршруте около восьми трудных участков – это настоящая гипотеза Римана от скалолазания. Самый тяжелый из них называют просто «проблемным валуном» – это сложная последовательность перемещений по расположенным далеко друг от друга зацепкам для рук, некоторые из которых не толще карандаша. Проход по этой почти вертикальной стенке требует причудливых движений, похожих на приемы карате. Сорваться в этом месте – верная смерть. Здесь не удастся несколько раз падать и начинать заново. Я заметил одну из особенностей этого восхождения: кратчайший путь к вершине явно не совпадает с прямой линией. На маршруте, по которому двигался Хоннольд, ему часто приходилось терять высоту, удаляясь от конечной цели, чтобы найти проходимый путь к вершине. Геодезические в скалолазании несомненно бывают линиями очень странной формы, извивающимися и изгибающимися по горному склону.

Меня заинтересовало, как именно выбирают маршрут, по которому поднимаются к вершине горы? Самый быстрый? Самый живописный? Самый трудный? На вершину Эвереста есть 18 маршрутов, имеющих собственные названия, и по нескольким из них еще никто не поднимался. В подавляющем большинстве восходители используют два маршрута – через Южное седло и через Северное седло. При попытке восхождения через Северное седло погиб Джордж Мэллори. Он говорил о «красивом маршруте». Красивый маршрут может быть не самым трудным – это маршрут, славящийся красотой. Интересно отметить, что и математики говорят о красивых доказательствах. Какие именно качества делают маршрут красивым? Как формулирует Макфарлейн, «красоту, как правило, порождает своего рода последовательность движения или самого маршрута. Когда не обязательно идти траверсом влево, а потом подниматься по следующему гребню или что-нибудь в этом роде. Также играет роль качество скалы – чтобы она не крошилась, была прочной. По сути дела, речь идет о том, насколько изящно выглядит план маршрута, если его начертить в воздухе, когда о нем рассказываешь. Но есть еще и опасности. И в красивом маршруте есть все это. Но есть и самый трудный маршрут, “тигриная тропа”. А еще есть так называемая diretissima, самый прямой маршрут». Этот термин пошел от итальянского альпиниста Эмилио Комичи, который говорил: «Я хотел бы однажды проложить такой маршрут, чтобы упавшая с вершины капля воды стекала по моему маршруту». Речь идет о так называемой линии спада, идеальной траектории спуска по склону, по которой стекала бы вода, если бы ей ничто не мешало.