Искусство мыслить рационально. Шорткаты в математике и в жизни - Маркус Дю Сотой

Австралиец Стюарт Макартур решил противопоставить такому перевесу севера свою собственную карту, в которой Южное полушарие находится наверху. Тех, кто видит ее в первый раз, эта карта приводит в сильное замешательство. Кажется, что в ней что-то не так. Но это всего лишь показывает, насколько мы привыкли видеть планету с точки зрения Меркатора.

Самое главное в карте – то, чего мы хотим добиться с ее помощью. Нужен шорткат для навигации? Шорткат к пониманию размеров территории? Чаще всего на картах стараются точно воспроизвести какие-нибудь геометрические параметры. Например, размеры на карте могут соответствовать размерам на планете. Или же могут совпадать углы между линиями. Но бывает и так, что карта отбрасывает все эти полезные вещи и сохраняет лишь информацию, самую важную для перемещения из пункта А в пункт Б.

Одна из карт, которые я люблю больше всего и использую ежедневно, – это схема лондонского метро. Физическая карта, на которой показано географическое расположение станций и линий метро, не очень-то помогает перемещаться по городу. Вместо этого легендарная схема Гарри Бека, опубликованная в 1933 году, показывает, как связаны элементы этой сети, игнорируя физические расстояния. Эта карта была настолько революционной, что поначалу компания, управлявшая метрополитеном, ее отвергла. Проблема, однако, состояла в том, что компания несла убытки, так как лондонцы не пользовались ее системой. Когда попытались выяснить, почему это происходит, оказалось, что пассажиры просто не могли разобраться в сети. Карты, разработанные компанией, пытались воспроизводить географию города, но в результате получалась невразумительная, запутанная мешанина линий, в которой было трудно что-либо понять.

Бек осознал эту проблему и решил, что от географической точности следует отказаться. Он переместил линии, выпрямил их, подвел их к пересадочным станциям под ясными углами, отодвинул станции друг от друга. Возможно, Беку помог опыт работы в области электроники, потому что схема метро получилась больше похожей на электронную схему, чем на железнодорожную карту.

Поняв, что необходима более удобная карта, позволяющая пассажирам ориентироваться в сети линий метро, компания в конце концов решила принять проект Бека. Три четверти миллиона экземпляров его схемы были отпечатаны и розданы пассажирам. Схема завоевала всемирную славу. По ее мотивам создавали произведения искусства: в отделе современного искусства Британской галереи Тейт висит картина Саймона Паттерсона, на которой воспроизведена схема метро, но названия станций заменены на имена инженеров, философов, путешественников, планет, журналистов, футболистов, музыкантов, киноактеров, святых, итальянских художников, синологов (китаеведов), юмористов и «Людовиков» (французских королей). Дж. К. Роулинг даже придала форму этой схемы шраму на левом колене профессора Дамбльдора, намекая на то обстоятельство, что самые лучшие идеи, которые она использовала в книгах о Гарри Поттере, приходили ей в голову в поездах.

Преимущество схемы лондонского метро заключается в том, что она – не географическая карта; она сосредоточена на более важной задаче – показать, как добраться из точки А в точку Б. То, что участок между станциями Ковент-Гарден и Лейстер-сквер имеет на схеме такую же длину, как участок между Кингс-Кросс и Каледониан-роуд[75], не означает, что соответствующие расстояния одинаковы. Пассажиру гораздо важнее понимать, что эти станции соединены линией метро, чем знать, на каком расстоянии друг от друга они находятся.

Это пример нового мировоззрения, появившегося в середине XIX века. Точные расстояния между объектами могут не иметь значения; главным фактором, определяющим форму, часто бывают связи между этими объектами. Одним из первых исследователей, которые начали задумываться о том, что свойства поверхностей могут зависеть не столько от физической геометрии, сколько от связей между точками, расположенными на них, был Гаусс. Хотя он так и не опубликовал свои идеи, они послужили отправной точкой для работ Иоганна Бенедикта Листинга, впервые назвавшего в 1847 году этот новый способ видения мира топологией. В главе 9 мы увидим, что топологические карты могут быть чрезвычайно удобным шорткатом к ориентированию в самых разных сетях, не только в лондонском метро.

Но диаграммы не обязательно ограничиваются иллюстрированием физических связей между разными точками Лондона. Очень эффективно используются карты, на которых отмечают не станции метро, а идеи. Их называют картами мыслей[76], а их назначение – выявить интересные связи между разными идеями, которые мы исследуем. Карты мыслей уже много лет служат незаменимой подмогой студентам, зубрящим перед экзаменами, потому что они помогают превращать темы, которые кажутся слишком сложными для выражения словами, в связные повествования. В известном смысле они опираются на принцип дворца памяти, о котором рассказывал Эд Кук. Карта мыслей может преобразовать винегрет из идей в воображаемый маршрут, по которому можно путешествовать по страницам.

Однако у этих диаграмм долгая история. Студентом в Кембридже Ньютон рисовал в записных книжках загогулины, складывающиеся в своего рода карту мыслей, которой он иллюстрировал свои идеи о возможных связях между разными философскими вопросами. Суть в том, что такие карты нарушают более или менее линейную манеру, в которой идеи обычно бывают представлены в учебниках, имитируя более многомерные процессы, которые использует для обработки идей наш разум.

Как говорил Леонардо, визуальный мир способен описать то, что навсегда останется недоступным для мира письменного. Одно-единственное изображение может выразить основополагающую структуру, которую скрывает сложность слов или уравнений. Но диаграмма – это не просто физическое представление того, что мы видим глазом. Могущество диаграмм заключается в их способности кристаллизовать новые способы видения мира. Как показывает шуточная идея Кэрролла о безмасштабной карте, для этого часто требуется отбросить часть информации, сосредоточиться лишь на самом главном. В других случаях научные идеи переводятся на язык визуальных образов, создающий новую карту, в которой главную роль играют геометрические построения, помогающие нам разобраться в том научном вопросе, о котором идет речь.

Силу хорошего изображения, несомненно, сознавал польский математик и астроном Николай Коперник. Изложение гелиоцентрической теории Коперника занимает в его великом труде, трактате «О вращении небесных сфер» (De revolutionibus orbium coelestium), опубликованном незадолго до его смерти в 1543 году, 405 страниц текста, чисел и формул. Однако лучше всего его революционную идею – что центром Солнечной системы является не Земля, а Солнце – выражает простое изображение, схема, которую Коперник начертил в самом начале этой книги.

Рис. 5.6. Схема Солнечной системы, в центре которой находится Солнце, из книги Коперника