Удивительные числа Вселенной - Антонио Падилья

ученого. Она апеллировала к духовной идеологии, к идее, что математическая вселенная никогда не оказывается достаточной. Несмотря на успех, жизнь Геделя омрачалась депрессией, а со временем у него развился параноидальный страх отравления. Он ел только продукты, проверенные и приготовленные его женой Адель. Когда в 1977 году ученый заболел и попал в больницу, он отказался есть и в итоге умер от недоедания 14 января 1978 года.

Математикам хотелось найти более интересные примеры недоказуемой истины, чем надуманный пример Геделя. У них имелся корыстный интерес. Представьте, что вы пытаетесь доказать (или опровергнуть) какую-нибудь известную математическую теорему. Это может быть гипотеза Римана, гипотеза Гольдбаха или одна из множества других нерешенных проблем математики. Если вы достаточно молоды, доказательство принесет вам Филдсовскую медаль[79], так что вы работаете на износ день и ночь. Если единственными недоказуемыми истинами становятся искусственные геделевские утверждения, ваш труд имеет шансы на успех. А что, если существуют более интересные недоказуемые истины? Что, если та теорема, над которой вы работаете, верна, но недоказуема в рамках нашей математической базы? Тогда у вас нет шансов. Вы обречены на неудачу.

В 1977 году британский математик Джефф Парис и его американский коллега Лео Харрингтон показали, что самые большие страхи математиков вполне реальны. Работая с урезанной версией математики, известной как арифметика Пеано, они смогли найти истинное утверждение из теории Рамсея, которое нельзя было доказать в рамках этой конкретной системы. Иными словами, арифметика Пеано позволяет придумать теорему, сформулировать ее в явном виде, но не дает возможности доказать ее. Для доказательства требуется выйти за пределы этой арифметики в какую-то более широкую математическую структуру с большим количеством аксиом. Недоказуемая истина Париса и Харрингтона стала предупреждением для математиков всего мира.

Харви Фридман тоже искал недоказуемые истины. Он стремился проанализировать теоремы математики и понять, для каких теорем нужны те или иные аксиомы. Представьте, что вы идете по городу и видите желтое здание. Вы спрашиваете себя: что мне действительно нужно, чтобы построить этот дом? Разумеется, вам понадобятся только желтые кирпичи. Желтые и красные были бы излишеством. Именно такую логику Фридман пытался применить к математике.

Поиски Фридмана привели его к Игре деревьев и недоказуемым истинам, которые таятся внутри ее. Чтобы увидеть их, вы должны сначала сыграть в эту игру в финитном мире — мире конечной математики, математической базе, построенной исключительно из конечных кирпичиков. Конечно, в этом конкретном мире есть много доказуемых истин. Например, легко доказать, что числа TREE(1) и TREE(2) конечны. Все, что нам нужно сделать для этого, — сыграть все возможные партии и посмотреть, когда они закончатся. Точно так же мы могли бы доказать, что число TREE(3) конечно, по крайней мере в принципе. Я помню, как сообщил вам, что игра с тремя семенами может продлиться дальше смерти Вселенной, но сейчас мы занимаемся математикой, а не физикой (кощунство!). Представим будущее, которое окажется достаточно продолжительным, чтобы мы могли играть столько, сколько нам нужно. Сыграв фантастически большое, но конечное число конечных игр, мы также можем показать, что конечны числа TREE(4), TREE(5), TREE(6) и т. д.

Предположим, что мы остаемся в этом конечном мире. Можем ли мы доказать, что числа TREE(n) конечны для всех значений n? По наивности вы наверняка подумаете, что можем, — с учетом всего вышесказанного. Однако это утверждение сильнее, чем утверждение, что число TREE(n) конечно для любого конкретного значения n, например для 3, 4 или гугола. Тем не менее мы все же знаем от Краскала, что такое более сильное утверждение также истинно. Поэтому мы снова спрашиваем: можем ли мы доказать это в финитном мире — так же, как можно доказать, что числа TREE(3) или TREE(4) конечны? Ответ: нельзя. В своем доказательстве Краскал вышел в трансфинитный мир, и Фридман понял, что без этого не обойтись. Итак, вот нужная истина на вашей ладони:

«TREE(n) конечно для всех значений n».

Недоказуемая истина в финитном мире.

Космическая перезагрузка

Теперь я хочу, чтобы вы снова сыграли в Игру деревьев, но на этот раз в реальном физическом мире. На этот раз законы физики начнут затрагивать вас, вашу игру и ту неожиданную Вселенную, которая вас окружает. Благодаря величине числа TREE(3) партия может продлиться очень долго, отдавая вас во власть космической перезагрузки, — причуды нашей оригинальной космологии и ее голографической истины. Но мы забегаем вперед: существует много других интересных вещей, которые могут происходить задолго до того, как вы достигнете космической перезагрузки. Посмотрим, что происходит в реальности.

Вы начинаете игру в парке в прекрасный день: золотая осень, солнечно, а тишину вокруг нарушает только песня случайного дрозда. И вы начинаете. Безмятежность разрушается скоростью вашей игры. Вы играете лихорадочно быстро — с максимальной скоростью, которую допускает физика, и каждое новое дерево появляется каждые 5 × 10–44 секунд. Это планковское время — самое маленькое время, какое только можно вообразить. Идея более коротких промежутков времени разрушает структуру пространства и времени способами, которые мы пока не понимаем, поскольку гравитация становится жертвой квантовой механики. За двадцать четыре часа вы нарисовали триллион триллионов триллионов триллионов деревьев, но партия еще не закончилась. Помните, что она потенциально может длиться до TREE(3) ходов, а вы и близко не подошли к этому пределу.

Вы играете год — партия продолжается. Вы играете век — и партия продолжается. Я представляю, что вы вечно молоды, как Питер Пэн, не способны стареть и подчиняетесь только физике, а не биологии. Века превращаются в тысячелетия, тысячелетия — в мегагоды (миллионы лет), а игра продолжается. Через 110 млн лет вы замечаете, что Солнце светит примерно на один процент ярче, чем в начале вашей игры, а Земля становится теплее. Континенты приближаются друг к другу и наконец примерно через 300 млн лет объединяются в суперконтинент. Через 600 млн лет Солнце становится таким ярким, что разрушает геохимический цикл углерода на планете. Деревья и леса уже не могут существовать, но вы все равно продолжаете играть. По мере того как уровень кислорода падает, в атмосферу Земли начинает проникать смертоносное ультрафиолетовое излучение. В качестве меры предосторожности вы продолжаете играть в помещении. Спустя 800 млн лет Солнце уничтожает всю сложную жизнь на Земле, — разумеется, кроме вас, поскольку вы продолжаете жить несмотря ни на что. Еще через 300 млн лет, когда Солнце уже на 10 процентов ярче, чем сегодня, начинают испаряться океаны.

Вы играете дальше. Поскольку Земля становится все более непригодной для жизни, убежище предлагает Марс. Через 1,5 млрд лет обстановка там напоминает земные условия во время ледникового периода. Вы решаете перенести свою игру туда. Это мудрый шаг: спустя 4,5 млрд лет Земля с безудержно