Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением - Рудольф Ташнер

Или — здесь, возможно, и зарыта собака — эта ситуация становится настолько неправдоподобно гротескной, что такой вопрос просто лишается всякого смысла? Не взрывает ли этот пример все глубокомысленные разговоры о природе бесконечного?

Надо описать еще один парадокс. Для большей наглядности и облегчения понимания мы начнем с отнюдь не парадоксальной ситуации. Руководитель туристического бюро приходит к директору «отеля Гильберта» и извещает о том, что вечером к ее отелю подъедет автобус с тремя туристами, господами А, Б и В.

Каждый из них может решить остаться на ночлег в «отеле Гильберта», но может захотеть поехать в другое место. Директор оказалась весьма добросовестной дамой и пытается войти в положение каждого из своих гостей, а для этого она должна знать все возможные исходы решений потенциальных гостей. Во-первых, все туристы могут захотеть поехать в другое место, и тогда никто из них не останется ночевать в отеле. Во-вторых, есть и такая возможность: например, турист А решит остаться в отеле, а двое других изъявят желание ехать дальше. В-третьих и в-четвертых соответственно, либо турист Б, либо турист В захотят сойти и остаться в «отеле Гильберта», а два его спутника поедут дальше. В-пятых, в-шестых или в-седьмых соответственно, А решит ехать дальше, а Б и В захотят остаться, или Б захочет ехать дальше, а А и В решат остаться, или В захочет ехать дальше, а А и Б решат остаться. И наконец, есть и восьмой вариант, когда все три туриста решат остановиться в «отеле Гильберта». Добросовестная директор отеля аккуратно записывает все восемь возможностей в блокнот. Теперь она подготовилась к прибытию туристического автобуса, так как у нее есть план действий на любой из восьми возможных случаев.

Пока все просто и понятно. Представим себе, однако, что руководитель туристического бюро приезжает к директору «отеля Гильберта» и оповещает ее о скором прибытии автобуса с бесконечным множеством пассажиров. Каждый из них может изъявить желание остаться в отеле или, наоборот, решит, что поедет на том же автобусе искать ночлег в другом месте. Директор отеля — а мы помним, что она очень добросовестна, — уходит в свой кабинет, чтобы выписать все возможные варианты в свой блокнот с бесконечным множеством страниц. После долгого отсутствия она возвращается к руководителю туристического агентства и говорит ему, что эта задача ей не по силам, как будет она не по силам любому нормальному человеку. «В этом нет ничего трудного», — говорит директору руководитель агентства и берет у нее из рук блокнот с бесконечным числом страниц. Он старательно исписывает все страницы блокнота, поднимает голову и лучезарно улыбается директору: «Думаю, что мне удалось выписать все возможные комбинации остающихся и уезжающих туристов». — «Этого не может быть», — отвечает директор, решительно тряхнув головой. «Почему нет?» — спрашивает руководитель агентства, озадаченно вертя в руках бесконечное множество покрытых каракулями страниц.

Теперь уже директор берет со стола лист бумаги и спрашивает собеседника: «Что делает ваш первый турист на первой странице?»

«Он остается ночевать в отеле», — слышит она в ответ. Однако сама она пишет на первой странице, что первый турист изъявляет желание ехать в другой отель, и спрашивает: «Что делает второй турист со второй страницы?»

«Он едет дальше», — отвечает руководитель агентства. Тогда директор пишет на второй странице, что второй турист остается в ее отеле, и задает следующий вопрос: «Что делает ваш третий турист с третьей страницы?»

Эта игра в вопросы и ответы продолжается до бесконечности. Каждый раз она спрашивает, как ведет себя турист под номером х со страницы под номером х — причем х символизирует какое-то число из бесконечной последовательности 1, 2, 3, …, а затем записывает на своей странице, что данный турист поведет себя по-другому, то есть абсолютно противоположным образом, нежели соответствующий турист из списка руководителя агентства.

В конце концов директор говорит: «Листка, заполненного так, как у меня, в вашем блокноте определенно нет. Не совпадают наши записи на первой странице, потому что первый турист у меня ведет себя не так, как первый турист у вас. Не могут совпасть записи и на вторых страницах, потому что второй турист у меня ведет себя не так, как второй турист у вас. Какую бы страницу, под каким бы номером мы ни взяли, записи в них не совпадут, потому что на страницах моего блокнота туристы ведут себя не так, как туристы соответствующих страниц вашего блокнота».

Несколько минут она молча смотрит на собеседника. После короткого замешательства к руководителю агентства возвращается дар речи: «Ну хорошо, тогда я возьму ваши страницы и включу их в свой каталог, и тогда мы получим все возможные варианты».

«Вы что, не понимаете, что это абсолютно бессмысленно? — начиная выказывать легкое нетерпение, говорит директор отеля. — Если вы включите мои страницы в свой список и снова придете с ним ко мне, то я начну такую же игру в вопросы и ответы и смогу еще раз создать страницы, которых, со всей определенностью, нет в вашем списке. Не может существовать никакого списка всех мыслимых комбинаций отдельных решений каждого из бесконечного множества туристов».

Этот парадокс восходит к немецкому математику Георгу Кантору, открывшему его в 1873 г. В этом парадоксе он обнаружил поистине удивительное свойство бесконечного: иногда бесконечное множество может быть «счетным». Под этим термином имеют в виду, что такое множество можно упорядочить как последовательность чисел 1, 2, 3, 4, 5, …. Например, это бесконечное множество комнат в отеле Гильберта, каждая из которых даже помечена соответствующим номером на двери. Или это бесконечное множество туристов в огромных автобусах. Или это бесконечное множество автобусов на исполинской парковке «отеля Гильберта». Каждый элемент бесконечного счетного множества будет когда-нибудь обязательно назван в процессе перечисления. Рассказанная выше история показывает, однако, что бесконечное множество может оказаться и «несчетным». То есть невозможно так упорядочить несчетное множество, чтобы каждый его элемент соответствовал бы какому-то натуральному числу и был бы когда-нибудь назван при перечислении. Выходящее за все мыслимые пределы число возможностей для бесконечного множества туристов в каждом отдельном случае решить, остаться ли в «отеле Гильберта» или проследовать дальше, как раз и представляет собой пример такого хаотичного, несчетного бесконечного множества.

Разницу между счетным и несчетным множеством лучше всего пояснить двумя примерами. Счетное множество соответствует очереди на автобусной остановке в Лондоне. Англичане славятся своим умением дисциплинированно выстраиваться в очереди — в затылок друг другу. Надо теперь лишь вообразить, что на остановке — если угодно, можно назвать ее «остановкой Гильберта» — выстроилось бесконечное множество людей. Но и в этом случае среди них есть первый, второй, третий и так далее. Каждому из этих людей соответствует некоторое число — его личный номер. Каждый человек знает, что, когда в автобус войдут люди с меньшими номерами, настанет его очередь.

Несчетному же множеству соответствует давка в гардеробе Венского музыкального общества после окончания концерта филармонического оркестра: все любители музыки — а в «гардеробе Гильберта» их бесконечное множество — без всякого порядка лезут к гардеробщицам, чтобы получить пальто. В вестибюле царит немыслимый кавардак. Бедная гардеробщица абсолютно беспомощна. В этой толчее ей ни за что не удастся установить хоть какой-то порядок в выдаче верхней одежды. Всегда найдутся любители музыки, чувствующие себя оттесненными и потерявшие всякую надежду получить пальто.