Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением - Рудольф Ташнер

Сотрудники Гильберта, и среди них Пауль Бернайс, Вильгельм Аккерман, Жак Эрбран и Джон фон Нейман, сразу и со всей серьезностью отнеслись к программе своего наставника. В связи с этим стоит сказать пару слов о каждом из этих людей.

Пауль Бернайс родился в Лондоне и впоследствии стал жителем Цюриха. В молодости он учился в Париже, Берлине, а затем в Гёттингене. В Гёттингене (с небольшим перерывом на поездки в Цюрих) Бернайс преподавал до 1933 г. Изгнанный из Германии как еврей, он уехал в Швейцарию, где до конца жизни проработал в Высшей технической школе Цюриха. Вместе с Джоном фон Нейманом он разработал изящную систему правил, состоящую из аксиом, рассматривающих как числа, так и «бесконечное» как «фигуры» математической «игры». Надо было всего лишь доказать, что эта система аксиом полна и непротиворечива.

Вильгельм Аккерман был одним из самых верных учеников Гильберта, которому, несмотря на все его усилия работать с программой своего учителя, путь в университет так и остался закрытым. Он выбрал для себя профессию преподавателя гимназии и почти до самой смерти безупречно исполнял эту обязанность. Ходили упорные слухи о том, что Гильберт не пустил Аккермана в университет из-за женитьбы. «О, это же просто великолепно! — будто бы воскликнул Гильберт, когда узнал о свадьбе Аккермана. — Для меня это хорошая новость. Ибо если этот человек настолько безумен, что женился и даже завел ребенка, то теперь я свободен от всяких обязательств перед ним».

Жак Эрбран в 1925 г. блестяще окончил Высшую нормальную школу в Париже, а затем учился в Гёттингене у Джона фон Неймана и Эмми Нётер. Он был знаком с программой Гильберта, внес в ее разработку многообещающий вклад, но, к несчастью, погиб во время восхождения в Альпах в возрасте двадцати трех лет.

Джон фон Нейман появился на свет в 1903 г. в тогда еще императорско-королевском Будапеште. Звали его тогда Нейман Янош, и он был отпрыском преуспевающего банкирского семейства. С детства он поражал всех своими разносторонними дарованиями: говорил на дюжине языков, на некоторых из них быстрее носителей. В Будапеште и Цюрихе он проявил блестящие дарования в химии и математике; для квантовой физики он создал логически законченную систему аксиом, как в свое время Гильберт для геометрии; человечество обязано Джону фон Нейману изобретением «архитектуры», лежащей в основании вычислительной техники; совместно с Оскаром Моргенштерном разработал математическую теорию игр, а на склоне лет консультировал стратегов из внешнеполитического и военного ведомств Америки. С его пылким характером, невероятными познаниями, потрясающим мышлением и безусловной порядочностью, Джон фон Нейман считался и был на самом деле мастером на все руки в науке. Кому, как не ему, можно было доверить скорейшее воплощение в жизнь программы Гильберта.

Действительно, уже в первые годы выполнения программы Гильберта были получены обнадеживающие частные результаты. Казалось, Гильбертово воинство почти достигло его цели — опровергнуть «ignorabimus» Дюбуа-Реймона от математики.

Сам Гильберт, однако, уже не имел в виду изобретателя лозунга «ignorabimus», когда в 1925 г. провозглашал свою программу, ибо к тому времени Дюбуа-Реймона уже тридцать лет как не было в живых. К этому шагу Гильберта побудил вполне живой и очень активный противник: Герман Вейль, критик, поставивший под сомнение возможность вычислений с числами с бесконечным десятичным представлением, вычислений, возможность которых провозгласил Гильберт в своей программе. Было горько сознавать, что противником оказался лучший его ученик.

Человеком, равным по гениальности Гильберту, но совершенно иным по сути, был великий французский математик начала ХХ в. Анри Пуанкаре, старший двоюродный брат будущего президента Франции Раймона Пуанкаре. В начале ХХ в. венгерский психолог Лайош Секели исследовал вопрос о том, как именно гении овладевают своими познаниями. Когда Секели спросил Пуанкаре, при каких обстоятельствах он сделал одно из своих величайших открытий, он получил поразительный ответ: «Когда входил в трамвай».

В другом месте Пуанкаре высказался более обстоятельно: «Пятнадцать дней я безуспешно бился в попытках доказать, что не могут существовать функции, которые я позднее назвал фуксовыми функциями. В ту пору я был очень невежественным; каждый день я садился за письменный стол и проводил за ним около двух часов, перебирая множество разнообразных комбинаций, но безрезультатно. Однажды вечером я вопреки обыкновению выпил чашку черного кофе, и очень долго не мог заснуть. Идеи начали роиться в моей голове и суматошно сталкивались друг с другом до тех пор, пока я не упорядочил их попарно, создав, так сказать, стабильные комбинации. К утру у меня в голове оформилась идея о существовании целого класса фуксовых функций, и мне оставалось лишь записать ее. На запись у меня ушло всего пара часов».

Это воспоминание чем-то сродни рассказу химика Августа Кекуле, который следующим образом описывает, как он во время поездки в омнибусе пришел к мысли о природе химических связей между атомами. «Я погрузился в грезы. Перед моим взором, словно бабочки, порхали атомы. Я всегда видел их как маленьких существ в непрестанном движении, но мне никогда не удавалось уловить узор их движения. В тот день мне, однако, удалось увидеть, как множество раз два мелких атома соединялись в парочки; как более крупные атомы охватывали эти мелкие двойки; еще более крупные ухватывали по три мелких атома, а самые крупные — по четыре, и как все это кружится в вибрирующем хороводе. Я видел, как крупные атомы соединяются в цепи, а мелкие лишь тянутся за ними, прицепившись к концам цепей… “Клэпхем-роуд!” — крикнул кондуктор, и я пробудился от своих грез».

В противоположность Гильберту Пуанкаре мало интересовался воспитанием как можно большего числа учеников, с которыми он мог бы делить свои прозрения. Пуанкаре вел куда более замкнутый образ жизни. В базе данных «Математическая генеалогия», в которой собраны сведения обо всех математиках, написавших докторские диссертации, мы читаем, что у Давида Гильберта было семьдесят пять диссертантов, а у Анри Пуанкаре — только пять.

Также, в противоположность Гильберту, Пуанкаре не был убежден в том, что математику следует понимать как формально-логическую игру с аксиомами. В математическом мышлении Пуанкаре отдавал преимущество не логике, а интуиции, прозрению, незамутненному взгляду в сущность проблем.

Самодостаточная непоколебимая достоверность, отражающая математическую суть вещей, была самым главным в глазах Пуанкаре. Логика служила лишь для того, чтобы доказать другим, что его озарение было верным и несомненным.

Мы хорошо знакомы с числами и счетом, производимым с их помощью. Для нас нет ничего более очевидного, чем тот факт, что шестью семь равно сорока двум. Мы также на сто процентов уверены в том, что существует бесконечное множество чисел 1, 2, 3, 4, 5,…. Во всяком случае, в том смысле, что в этом ряду не существует последнего числа. К каждому числу, сколь велико бы оно ни было, мы можем, по крайней мере мысленно, добавить еще единицу и получить число еще большее. Большего из бесконечного мы извлечь не можем — даже с помощью формально-логических аксиом.