Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением - Рудольф Ташнер

Нет, Гильберт имел в виду не давно умершего Дюбуа-Реймона, а обоих «путчистов», Брауэра и Вейля, когда объявил о создании своей программы. Брауэр остался равнодушным к программе Гильберта. Даже когда полной и непротиворечивой системой математических аксиом Гильберта был создан надежный фундамент, учитывавший реальность бесконечного, к которой интуитивно приблизился Брауэр, для него осталась ничего не значащей игра слепыми понятиями. Напротив, Герман Вейль, движимый, возможно, уважением к своему учителю, сомневался и занял выжидательную позицию. Он сознавал, что в приложениях математики к естественно-научным и инженерным дисциплинам принципиальное различие между обычными числами и числами с бесконечным десятичным представлением не играет никакой роли, и представители этих дисциплин не понимают даже сути развернувшейся в математике борьбы. Несомненно, Вейль разглядел интеллектуальный вызов в представленной Давидом Гильбертом программе, неслыханную и увлекательную задачу. Успех этой программы, вероятно, заставил бы его усомниться в правильности своей позиции в отношении взглядов Пуанкаре и Брауэра.

Однако история пошла другим путем.

После Гёттингена, Парижа, Амстердама и Цюриха мы переместимся на новую сцену. Остановимся в Вене, мучительно расстававшейся после Первой мировой войны с блеском имперской столицы. В ее университете, в котором самые блестящие математики и воодушевленные «Логико-философским трактатом» Людвига Витгенштейна мыслители объединились в Венский кружок, в конце 1920-х учился отпрыск богатого брюннского семейства Курт Гёдель.

Вначале Гёдель хотел посвятить себя физике. В детстве, однако, он переболел ревматизмом, и с тех пор стал панически бояться болезни и неминуемой смерти, тем более когда познакомился с Филиппом Фуртвенглером, своим преподавателем математики, прикованным к инвалидному креслу. Короче, Гёдель решил стать математиком. Вероятно, с задней мыслью о том, что математика — это специальность, которая гарантирует больному — а Фуртвенглер, в отличие от Гёделя, был нездоров — долгую жизнь. Всему, что делал в жизни Курт Гёдель, он давал логическое обоснование, что, конечно, может показаться несколько странным.

Для Гёделя вершиной каждой недели была встреча Венского кружка, который по четвергам собирался в маленькой аудитории на первом этаже большого институтского корпуса на Штрудльгофгассе. Математик Ханс Хан пригласил в кружок одаренного студента, ввел в общество доцентов и профессоров, душой которого был философ Мориц Шлик. Несмотря на то что Людвиг Витгенштейн никогда не принадлежал к Венскому кружку и даже находился к нему в умеренной оппозиции, его тезисы в начале деятельности кружка составляли главный стержень дискуссий. Потом главной темой стало логическое обоснование точных наук. В глазах членов кружка программа, предложенная Гильбертом, была путеводной нитью для всех остальных дисциплин. Все члены кружка были убеждены в том, что программа очень скоро будет выполнена в математике, и после этого ее соответствующие варианты надо будет в течение следующих десяти лет перенести в физику, биологию, а также психологию, социологию и конечно же в теорию познания.

Гёдель принимал участие во многих заседаниях кружка, но никогда не высказывался. Не зафиксировано ни одного его выступления, ибо, несмотря на поразительную способность к логическому анализу, он не верил в «преодоление метафизики посредством логического анализа языка», как сформулировал задачу кружка один из самых выдающихся его представителей Рудольф Карнап. Однако в своей докторской диссертации Гёдель не стал стесняться, и ее содержание уничтожило цель, которой Гильберт пытался достичь своей программой.

С помощью разработанного им самим гениального метода, основанного исключительно на арифметических операциях с числами и обладавшего такой же достоверностью, как тот факт, что шестью семь равно сорока двум, Гёдель смог доказать следующую теорему: в любой логически непротиворечивой системе, содержащей арифметику чисел, существуют утверждения, относительно которых принципиально невозможно решить, являются они истинными или ложными.

При этом важно, чтобы доказательство или опровержение всех утверждений системы могли проводиться только теми средствами, какими располагает эта система.

Коротко говоря, Гёдель указал на то, что в формальной математике Гильберта всегда прячется «ignoramus et ignorabimus».

Но и это был не самый сокрушительный удар. Гёдель, помимо того, смог доказать следующее: только «извне», то есть с позиции, находящейся вне формальной системы, можно доказать, что эта система непротиворечива, ибо утверждение «формальная система является логически непротиворечивой» — это такое утверждение, относительно которого — находясь внутри системы — принципиально невозможно сказать, истинное оно или ложное.

Метафорически эти идеи Гёделя представил учившийся у Гильберта французский математик Андре Вейль, брат философа и мистика Симоны Вейль: «Бог существует, потому что математика непротиворечива, а дьявол существует, потому что мы не в состоянии этого доказать».

Мало того, сенсационно выглядело и то, как прозрение Гёделя стало достоянием математического сообщества: с 5 по 7 сентября 1930 г. в Кёнигсберге, городе, где родились Кант и Гильберт, состоялся шестой съезд немецких физиков и математиков, в котором приняли участие и выступили Рудольф Карнап как представитель Венского кружка, Аренд Гейтинг, ученик Брауэра, и Джон фон Нейман как представитель программы Давида Гильберта. Было предпринято много усилий для того, чтобы привлечь к участию в съезде представителей молодого поколения математиков. Этого хотели все, главным образом потому, что хотелось избежать ожидавшегося спора между приверженцами Брауэра и присутствовавшим на съезде Гильбертом. Молодые представители обеих школ, выступая, говорили обтекаемо и уклончиво. Принял участие в съезде и Гёдель, который изложил тезисы своей диссертации, чем снискал благосклонное одобрение участников. В конце заседания Гёдель попросил слова и объявил о своем последнем открытии, каковое будет опубликовано в его докторской диссертации: формальные системы, основанные на арифметических операциях с числами, необходимо являются неполными.

На тех, кто понимал, о чем идет речь, это заявление произвело эффект разорвавшейся бомбы. Сам Гильберт в этой дискуссии участия не принимал, потому что как раз в это время ехал в студию выступать с обращением, в котором он и сформулировал свое кредо: «Мы должны знать, и мы будем знать!» Однако Бернайс и фон Нейман прекрасно осознали важность заявления Гёделя: программа Гильберта в том виде, в каком она представлялась своему создателю, была безнадежно обречена. Лозунг «Мы должны знать, и мы будем знать!» оказался попросту несостоятельным. Несколько месяцев они не смели оповестить Гильберта о случившемся, боясь расстроить учителя и наставника.

До конца своих дней Гильберт отказывался признать важность теоремы Гёделя о неполноте.

Сам Гёдель находил свое открытие чрезвычайно воодушевляющим. Он был твердо убежден в том, что математика, даже та, что позволяет выполнять расчёты с числами с бесконечным десятичным представлением, является непротиворечивой. С такой точки зрения программа Гильберта — это не более чем ненужное упражнение на усидчивость. Математика ничего не потеряет оттого, что признает это упражнение невыполнимым.