Величайшие математические задачи - Йен Стюарт

Утверждение, что всякая эллиптическая кривая является модулярной, называется гипотезой Таниямы — Симуры. Она названа в честь двух японских математиков Ютаки Таниямы и Горо Симуры. Встретились они случайно: оба одновременно с одной и той же целью хотели получить в университетской библиотеке одну и ту же книгу. Результатом же стало долгое сотрудничество. В 1955 г. Танияма был в Токио на математической конференции, где молодым участникам предложили составить список открытых вопросов. Танияма предложил четыре вопроса, и все они были связаны с отношениями между модулярными функциями и эллиптическими кривыми. Еще до этого он вычислил некоторые числа, связанные с конкретной модулярной функцией, и заметил, что в точности те же числа появлялись в связи с конкретной эллиптической кривой. Подобные совпадения часто свидетельствуют о том, что все это вовсе не совпадение и что замеченным фактам должно быть какое-то разумное объяснение. Сегодня мы знаем: равенство этих чисел напрямую означает, что эллиптическая кривая является модулярной, более того, именно так чаще всего определяется модулярность в специальной литературе. Так или иначе, Танияма был достаточно заинтригован, чтобы рассчитать соответствующие числа еще для нескольких модулярных функций и выяснить, что они тоже соответствуют конкретным эллиптическим кривым.

Он заинтересовался, не найдется ли подобной черты у каждой эллиптической кривой. Специалисты в этой области в большинстве своем считали, что это слишком хорошо, чтобы быть правдой, — бесплодная мечта, в пользу которой нет почти никаких свидетельств. Симура был одним из немногих, кто считал, что эта гипотеза достойна серьезного рассмотрения. Но в 1957–1958 гг. Симура уехал на год в Принстон, а Танияма, пока его не было, покончил с собой. В оставленной им записке, в частности, говорилось: «Причину моего самоубийства я не могу и сам понять, но это не результат какого-то конкретного события, нет никаких особенных причин. Единственное, что я точно знаю, — я потерял веру в будущее».

Примерно месяц спустя его невеста Мисако Судзуки тоже покончила с собой. В ее прощальной записке было сказано: «Теперь, когда его нет, я тоже должна уйти, чтобы присоединиться к нему».

Симура продолжил работу над гипотезой. По мере того как накапливались свидетельства в ее пользу, он начал склоняться к мысли о том, что она действительно может оказаться верной. Большинство других специалистов были с ним не согласны. Саймон Сингх рассказывает об интервью с Симурой, в котором тот вспоминал, как пытался объяснить все это одному из коллег:

Несмотря на общий скептицизм, Симура продолжал упорно работать, и с годами это предположение приобрело достаточную респектабельность, чтобы о нем стали говорить как о гипотезе Таниямы — Симуры. Затем Андре Вейль, один из крупнейших специалистов по теории чисел XX столетия, нашел дополнительные свидетельства в ее пользу, опубликовал их и высказал уверенность в том, что она на самом деле вполне может быть верна. После этого гипотезу стали называть гипотезой Таниямы — Симуры — Вейля. Вообще, название ее окончательно не устоялось, и в публикациях о ней можно встретить самые разные комбинации имен трех этих математиков. Я буду придерживаться названия «гипотеза Таниямы — Симуры».

В 1960-е гг. еще один математический тяжеловес Роберт Ленглендс понял, что гипотезу Таниямы — Симуры можно рассматривать как один из элементов куда более обширной и амбициозной программы, способной объединить алгебраическую и аналитическую теорию чисел. Он сформулировал целый набор гипотез, связанных с этой идеей и известных сегодня как программа Ленглендса. Она была еще более спекулятивна, чем гипотеза Таниямы — Симуры, но обладала неотразимой элегантностью: подобная математика настолько красива, что просто обязана быть истинной. В течение последующего десятилетия математический мир постепенно оценил красоту программы Ленглендса, и ее исполнение начали воспринимать как одну из главных целей алгебраической теории чисел. Программа Ленглендса представляется верным направлением развития, если, конечно, кому-то удастся сделать в этом направлении первый шаг.

В 1980-е Фрей заметил, что применение гипотезы Таниямы — Симуры к его эллиптической кривой означало бы доказательство Великой теоремы Ферма. Однако к тому времени выявилась еще одна проблема с его идеей. Когда в 1984 г. он прочел лекцию на эту тему, аудитория заметила прореху в ключевом аргументе: его кривая настолько необычна, что просто не может быть модулярной. Один из ведущих специалистов в этой области Жан-Пьер Серр быстро закрыл прореху, но для этого ему пришлось задействовать еще один результат, также нуждавшийся в доказательстве, — специальную гипотезу о понижении уровня. К 1986 г., однако, Кен Рибет доказал эту гипотезу. Теперь единственным препятствием на пути к доказательству теоремы Ферма была гипотеза Таниямы — Симуры, и мнение математического сообщества начало потихоньку смещаться. Серр предсказал, что Великая теорема Ферма, вероятно, будет доказана в течение ближайших десяти лет или около того. Как именно доказана, оставалось вопросом, но в воздухе уже витала общая уверенность в успехе: методики, связанные с модулярными функциями, обретали такую мощь, что очень скоро кто-нибудь должен был реализовать наконец подход Фрея.

Этим кем-то оказался Эндрю Уайлс. В телепрограмме, целиком посвященной доказательству теоремы Ферма, он рассказал:

В 1971 г. Уайлс получил в Оксфорде диплом по математике и переехал в Кембридж работать над докторской диссертацией. Его руководитель Джон Коутс сказал ему (и был совершенно прав), что теорема Ферма слишком сложна для докторской диссертации и отсоветовал за нее браться. Так что Уайлс занялся эллиптическими кривыми, которые тогда считались куда более многообещающим полем для исследований. К 1985 г. он был уже в Париже в Институте высших научных исследований — одном из ведущих мировых центров математических исследований. Большинство лучших ученых в тот или иной момент проходят через это учреждение, и, если вы математик, это великолепное место для работы и общения. В то время в Институте бывал и Рибет, и его доказательство специальной теоремы о понижении уровня буквально наэлектризовало Уайлса. Теперь он мог заниматься в высшей степени респектабельным исследованием эллиптических кривых и пытаться доказать гипотезу Таниямы — Симуры — и в то же время стремиться к исполнению своей детской мечты доказать Великую теорему Ферма.