Величайшие математические задачи - Йен Стюарт

Поскольку все теперь знали о связи между этими областями, это вызывало некоторое беспокойство. Предположим, Уайлс сумел бы собрать почти полное доказательство, в котором оставалось бы лишь несколько небольших пробелов, требующих дополнительных усилий. Предположим также, что кто-то другой узнал бы об этом и заполнил оставшиеся пробелы. Тогда технически именно этот человек стал бы автором доказательства Великой теоремы Ферма. Как правило, математики так себя не ведут, но приз был слишком велик, и Уайлс благоразумно решил принять меры предосторожности. Он вел свои исследования в тайне, что математикам несвойственно. И дело было не в том, что Уайлс не доверял коллегам. Он просто не хотел допустить даже малейшей вероятности того, что кто-нибудь обойдет его перед финишной чертой.

Семь лет Уайлс работал на чердаке своего дома, где был оборудован кабинет. Только жена и непосредственный начальник знали, чем именно он занимается. В тишине и уединении он атаковал задачу всеми методами, какие мог вспомнить и освоить, и, в конце концов, стены крепости начали сотрясаться под его ударами. В 1991 г. Коутс познакомил его с новыми результатами и доказательствами, полученными Маттеусом Флахом. Осада продвигалась успешно: по крепостной стене уже пошли трещины.

К 1993 г. работа над доказательством была завершена. Оставалось лишь представить его миру. Однако Уайлс все еще осторожничал: ему не хотелось рисковать и объявлять о своем достижении только для того, чтобы тут же выявилась какая-нибудь ошибка. Примерно так произошло с Йоити Мияокой в 1988 г.: средства массовой информации поспешили разнести по всему миру его заявление о том, что получено доказательство Великой теоремы Ферма, в котором очень быстро была обнаружена ошибка. Поэтому Уайлс решил провести серию из трех лекций в кембриджском Институте Исаака Ньютона — недавно организованном международном исследовательском центре по математике. Тема лекций звучала безобидно: «Модулярные формы, эллиптические кривые и теория Галуа». Иносказание, однако, мало кого обмануло: все понимали, что Уайлс собирается объявить о серьезном открытии.

На третьей лекции Уайлс коротко изложил доказательство одного особого случая гипотезы Таниямы — Симуры. Он выяснил, что можно обойтись и чуть менее строгим утверждением. Достаточно доказать, что кривая Фрея, если она существует, должна принадлежать к особому классу эллиптических кривых, известных как «полустабильные», а затем доказать, что все кривые этого класса модулярны. Уайлс доказал и то и другое. В конце той лекции он записал на доске следствие — дополнительную теорему, которая непосредственно следует из того, что было только что доказано. Этим следствием была Великая теорема Ферма.

Симура, услыхав о заявлении Уайлса, высказался кратко и по существу: «Я же говорил!»

Но если бы все было так однозначно! У судьбы в запасе нашелся еще один неожиданный поворот. Доказательство нуждалось в одобрении и признании специалистов, и в процессе его рассмотрения, как обычно, выявилось несколько моментов, по которым требовались дополнительные разъяснения. Уайлс справился с большей частью подобных комментариев, но один из них заставил его задуматься. В конце 1993 г. он опубликовал заявление: отозвал свои претензии на доказательство Великой теоремы до тех пор, пока ему не удастся заполнить выявленный логический пробел. Но теперь работать ему приходилось в обстановке полной публичности, т. е. произошло именно то, чего он надеялся избежать.

К марту 1994 г. исправленное доказательство не появилось, и Фальтингс выразил широко распространенное в математическом сообществе мнение: «Если бы [исправить доказательство] было просто, он бы уже решил эту проблему. Строго говоря, то, что было заявлено, не доказательство». Вейль заметил: «Я считаю, что у него есть несколько хороших идей, но доказательства нет… Доказать Великую теорему Ферма — это как взобраться на Эверест. Если кто-то хочет покорить Эверест и не доходит до вершины 100 ярдов, это означает, что он не покорил Эверест». Каждый мог легко представить себе, чем все кончится. Все это уже было. Доказательство рухнуло, его придется полностью пересматривать, и теорема Ферма останется непобежденной до следующего сражения.

Но Уайлс отказывался признавать поражение. К поискам присоединился его бывший студент Ричард Тейлор. Корень проблемы теперь был ясен: результаты Флаха не слишком хорошо подходили к этой задаче. Уайлс и Тейлор попытались доработать методы Флаха, но ничего не получалось. Затем Уайлса осенило: он внезапно понял, в чем состоит главное препятствие. «Я понял, что та самая штука, из-за которой перестал работать метод Флаха, может заставить работать другой метод, который я тоже когда-то пробовал». Солдаты, осаждающие замок, вдруг поняли, что их таран никогда не проломит ворота, поскольку осажденные постоянно сбрасывают на него большие камни, но можно этими самыми камнями зарядить требушет и пробить ворота иначе.

К апрелю 1995 г. новое доказательство было завершено, и на этот раз в нем не оказалось ни прорех, ни ошибок. Оно было опубликовано в виде двух статей в Annals of Mathematics — одном из самых уважаемых математических журналов. Уайлс стал мировой знаменитостью, удостоился нескольких престижных премий и рыцарского звания… и вернулся к своим исследованиям. Его жизнь почти не изменилась.

По-настоящему важно в достижении Уайлса вовсе не доказательство Великой теоремы Ферма как таковое. Я уже говорил, что от того, верна эта теорема или нет, практически ничего не зависит. Если бы кто-то отыскал три 100-значных числа и 250-значный простой показатель степени, из которых сложился бы контрпример к утверждению Ферма, то ни одна важная область математики от этого не пострадала бы. Конечно, прямой компьютерный расчет не осилил бы таких больших чисел, так что вам пришлось бы проявить недюжинный ум, чтобы отыскать что-нибудь подобное, но отрицательный результат в данном случае не вызвал бы ни у кого особой тревоги.

Подлинное значение найденного Уайлсом решения проблемы заключается в доказательстве гипотезы Таниямы — Симуры для полустабильного случая. Не прошло и шести лет, как Кристоф Брейль, Брайан Конрад, Фред Даймонд и Ричард Тейлор расширили методы Уайлса и разобрались не только с полустабильными, но и со всеми остальными эллиптическими кривыми. Они доказали полный вариант гипотезы Таниямы — Симуры, и теория чисел уже никогда не будет прежней. Теперь, если кто-то столкнется с эллиптической кривой, она гарантированно будет модулярной, что открывает перед исследователями множество новых аналитических методов. Эти методы уже используются для решения других задач теории чисел, а в будущем их появится еще больше.

Если верить старой шутке, то о продвинутости физической теории можно судить по тому, с каким количеством взаимодействующих тел она не в состоянии разобраться. Закон всемирного тяготения Ньютона сталкивается с проблемами уже на трех телах. Общая теория относительности с трудом справляется с двумя. Квантовая теория и для одного-то тела непомерно сложна, а квантовая теория поля попадает в беду даже там, где тел нет вообще — в вакууме. В этой шутке, как и во многих других, есть доля истины{27}. Так, над задачей гравитационного взаимодействия всего лишь трех тел, которые вроде бы подчиняются ньютонову обратно-квадратичному закону тяготения, математический мир бился не одну сотню лет. И до сих пор бьется, если говорить о красивой формуле для орбит этих тел. Правда, сегодня мы знаем, что динамика трех тел хаотична — настолько нерегулярна, что несет в себе элементы случайности.