Величайшие математические задачи - Йен Стюарт

Серьезный успех в решении задачи n тел был достигнут для того частного случая, когда все тела обладают одинаковой массой. Такое допущение нечасто работает в небесной механике, но вполне разумно для некоторых неквантовых моделей элементарных частиц. А главный интерес такая постановка вопроса представляет, конечно же, для математиков. В 1993 г. Кристофер Мур нашел решение задачи трех тел для случая, когда все тела гоняются друг за другом по одной и той же орбите. Удивительна форма орбиты: это восьмерка, показанная на рис. 32. Несмотря на то что у орбиты есть точка самопересечения, тела никогда не сталкиваются.

Расчет Мура был численным и проводился на компьютере. В 2001 г. Ален Ченсинер и Ричард Монтгомери заново независимо открыли это решение. Для этого они, с одной стороны, воспользовались давно известным в классической механике принципом наименьшего действия, а с другой — привлекли весьма хитроумную топологию, чтобы доказать, что такое решение существует. Орбиты тел периодичны во времени: через определенный временной промежуток все тела возвращаются к первоначальным позициям и скоростям, а затем повторяют те же движения до бесконечности. Для любой заданной суммарной массы существует по крайней мере одно такое решение для любого периода.

В 2000 г. Карлес Симо провел численный анализ и получил указания на стабильность восьмерки, за исключением, возможно, очень медленного долгосрочного дрейфа, известного как диффузия Арнольда и связанного с мелкими особенностями геометрии отображения карты возвращений Пуанкаре. При стабильности такого рода почти любые возмущения приводят объекты на орбиту, очень близкую к первоначальной, а среди мелких возмущений доля именно таких приближается к 100 %. При тех редких возмущениях, при которых стабильность все же нарушается, орбита дрейфует от своего первоначального положении чрезвычайно медленно. Результат Симо вызвал удивление, поскольку в задаче трех тел равной массы стабильные орбиты встречаются редко. Численные расчеты показывают, что стабильность сохраняется даже в том случае, когда массы тел слегка различаются. Так что вполне возможно, что где-то во Вселенной три звезды с почти идентичными массами бесконечно преследуют одна другую на орбите в форме восьмерки. По оценке Дугласа Хегги, сделанной в 2000 г., число таких тройных звезд лежит между одной на галактику и одной на Вселенную.

Для орбиты в форме восьмерки характерна интересная симметрия. Возьмем для начала три тела A, B и C. Пройдем с ними треть орбитального периода и обнаружим тела на тех же позициях с теми же скоростями, как в начальный момент, только на тех же местах будут находиться соответственно тела B, C и A. После двух третей периода там же мы найдем тела C, A и B. Через полный период мы увидим в точности первоначальную картину. Решение такого рода известно как хореография — танец планет, в котором они через определенные промежутки времени меняются местами. Численные данные свидетельствуют о существовании хореографий в системах более чем трех тел: на рис. 33 представлены некоторые примеры таких систем. Сам Симо, в частности, отыскал огромное количество хореографий.

Но даже здесь многие вопросы остаются без ответа. У нас до сих пор нет строгого доказательства существования хореографий. Для систем более чем из трех тел все они представляются нестабильными. Скорее всего, так и есть, но это тоже надо доказать. Орбита в виде восьмерки для трех тел заданной массы при заданном периоде представляется единственной, но доказательства тому опять же нет, хотя в 2003 г. Томаш Капела и Петр Згличинский опубликовали компьютерное доказательство того, что она локально единственна — ни одна из близлежащих орбит не работает. Возможно, хореографии — это зерно еще одной великой задачи.

Итак, стабильна ли Солнечная система?

Может, да, а может, и нет.

Продолжая исследовать великое озарение Пуанкаре — возможность существования хаоса, — мы сегодня гораздо лучше разбираемся в теоретических вопросах, связанных с достижением стабильности. Оказалось, что это тонкая и сложная задача. К тому же она, как ни смешно, практически никак не связана с существованием или отсутствием решений в виде рядов. Работа Юргена Мозера и Владимира Арнольда позволила доказать, что различные упрощенные модели Солнечной системы стабильны почти при любых начальных состояниях, за исключением, возможно, эффекта диффузии Арнольда, который не допускает более сильных форм стабильности почти во всех задачах такого рода. В 1961 г. Арнольд доказал, что идеализированная модель Солнечной системы стабильна в этом смысле, но только при допущении, что планеты обладают чрезвычайно малыми массами по сравнению с массой центральной звезды, что их орбиты очень близки к круговым и находятся почти в одной плоскости. Если говорить о строгом доказательстве, то «почти» и «очень близки» здесь означает «различаются не более чем на 10−43 долю», и даже в этом случае точная формулировка гласит, что вероятность нестабильности равна нулю. Там, где речь идет о возмущениях, результаты часто бывают гораздо шире, чем то, что удается строго доказать, так что из всего этого следует, что планетная система, в разумной степени близкая к идеальной, вероятно, стабильна. Однако в нашей Солнечной системе допуски составляют 10−3 по массе и 10−2 по степени приближения к окружности и наклонению. Понятно, что это несколько больше, чем 10−43, так что о применимости результатов Арнольда речь может идти лишь чисто теоретически. Тем не менее приятно, что в этом вопросе хоть о чем-то можно говорить определенно.

Практические стороны подобных задач тоже прояснились благодаря развитию мощных численных методов приближенного решения уравнений при помощи компьютера. Вообще-то это тонкий вопрос, ведь у хаоса есть одно важное свойство: маленькие ошибки способны очень быстро вырасти и погубить все решение целиком. Наши теоретические представления о хаосе и об уравнениях, подобных уравнениям Солнечной системы, в которой отсутствует трение, привели к развитию численных методов, свободных от многих наиболее неприятных свойств хаоса. Их называют симплектическими интеграторами. С их помощью удалось выяснить, что орбита Плутона хаотична. Однако это не означает, что Плутон беспорядочно носится по всей Солнечной системе, разрушая все вокруг себя. Это означает, что через 200 млн лет Плутон по-прежнему будет находиться где-то поблизости от своей нынешней орбиты, но где именно — мы не имеем ни малейшего представления.

В 1982 г. в рамках проекта Longstop под руководством Арчи Роя на суперкомпьютере проводилось моделирование внешних планет (начиная с Юпитера). В них не обнаружилось крупных нестабильностей, хотя некоторые планеты получали энергию за счет других планет странными путями. С тех пор две исследовательские группы занимаются развитием использовавшихся в проекте вычислительных методов и применением их к различным задачам, касающимся нашей Солнечной системы. Руководят этими группами Джек Уиздом и Жак Ласкар. В 1984 г. группа Уиздома предсказала, что спутник Сатурна Гиперион, вместо того чтобы вращаться честь по чести, должен беспорядочно кувыркаться, и последующие наблюдения подтвердили этот факт. В 1988 г. эта же группа в сотрудничестве с Джерри Сассменом построила собственный компьютер, спроектированный специально для работы с уравнениями небесной механики. В сущности, это цифровая модель Солнечной системы (в отличие от обычной механической модели, где движение планет — шариков на палочках — имитируется при помощи штырьков и шестеренок). Первый же расчет, смоделировавший следующие 845 млн лет Солнечной системы, вскрыл хаотичную природу Плутона. На данный момент группа Уиздома и ее последователи успели смоделировать динамику Солнечной системы на следующие несколько миллиардов лет.