Удивительные числа Вселенной - Антонио Падилья

Фибоначчи говорит о нуле как о знаке, отдельном от остальных девяти форм[97]. Конечно, он знал о работе Брахмагупты, сделавшей ноль отдельной цифрой, но все же не смог заставить себя уравнять его с остальными индийскими цифрами. Это было слишком эксцентрично. Каким бы просвещенным математик ни был, он, очевидно, все еще нервничал из-за нуля. Однако в целом это уже не имело значения. Ноль и другие индийские цифры наконец прорвали линию обороны. Они попали в христианский мир.

Значительная часть книги Фибоначчи посвящена математике торговли, использующей восточные алгоритмы для расчета прибыли и процентов или конвертации валют. Несмотря на очевидные преимущества, европейские торговцы не спешили брать на вооружение эти методы. Многие по-прежнему предпочитали работать с римскими цифрами, используя абак или счетную доску, на которой раскладывались бусины или камешки. Началось соперничество между абакистами, которые цеплялись за старые способы подсчета, и алгоритмистами, пользовавшимися вычислительной мощью восточной математики.

И власти, и обычные люди не доверяли этому таинственному заимствованию с Востока. В 1299 году во Флоренции индийские цифры были запрещены — во избежание мошенничества, ведь ноль можно легко изменить на шестерку или девятку. Однако запрет не остановил алгоритмистов. Они продолжали использовать эти цифры в частном порядке, вызывая при расчетах дух аль-Хорезми. Сначала их считали безбожниками, которые тратят больше времени на свои алгоритмы, чем на молитву. Но, как всегда, выгода для торговли перевесила, и власть уступила. Ноль и остальные индийские цифры оказались слишком мощными инструментами, и игнорировать их не получилось. Они были обречены на успех.

Даже церковь, похоже, была готова к переменам. В XIII веке парижские епископы выпустили ряд осуждений — документов о различных еретических учениях, которые могли привести к отлучению ученых от церкви. Там оказались и тексты Аристотеля — человека, который когда-то вдохновлял своим доказательством существования Бога таких богословов, как святой Фома Аквинский. В идеях Аристотеля епископы начали усматривать вызов всемогуществу Бога, как и мусульмане несколькими веками ранее. В осуждении 1277 года епископ Этьен Тампье рассматривал вопрос о движении небес. Аристотель говорил, что их невозможно перемещать по прямой линии, поскольку такое движение оставляет вакуум, заполненный пустотой, которую он категорически отвергал. Для Тампье это была явная ересь. Бог может сделать все, что желает. Он может сдвинуть небеса, как ему угодно; он способен создать вакуум. Кто такой Аристотель, чтобы утверждать обратное?

Местами позиции Аристотеля в христианской философии оставались сильными, однако его влияние начало разрушаться. Если христиане могли принять пустоту, они могли принять и ноль. Однако долговременные перемены и принятие нуля осуществили не парижские епископы. Это сделали бухгалтеры.

Они изобрели двойную запись.

В каком-то смысле такое окончание истории нуля разочаровывает, однако именно так он в итоге и победил. Двойную бухгалтерию придумали для учета растущих сложностей в торговле. Самые старые сохранившиеся бухгалтерские книги с ее применением относятся к счетам казначейства Генуэзской республики (1340 год). Система была простой, но гениальной. В одной колонке вы подсчитываете свои активы, в другой — пассивы, и при правильном учете разница должна быть нулевой[98]. Эта система использовала сильные стороны алгоритмистов, располагавших положительные и отрицательные числа по обе стороны от выделенного нуля. В 1494 году отец бухгалтерии, францисканский монах Лука Пачоли, изложил этот метод в своем легендарном учебнике по практической математике. Он выразил числами все — дебет, кредит и даже нулевой баланс. Больше не было места для аргументированных споров. Ноль восторжествовал, но не в результате взрыва или насильственного ниспровержения религиозных идеалов, а в результате торговой уловки и потребности добиться баланса в бухгалтерских документах.

Ноль — это симметрия

Что такое ноль? Наши предки говорили, что это пустота — проклятая на Западе из-за отсутствия Бога и благословляемая на Востоке из-за безмолвного совершенства. Возможно, вы скажете, что ноль — просто число вроде единицы, двойки или числа Грэма. Но тогда я вынужден спросить: что такое число? До того как древние шумеры высвободили числа, их всегда держали рядом с чем-то другим: пять хлебов, пять рыб, пять кувшинов масла. Прорыв произошел, когда шумеры определили общий признак у всех этих совокупностей: отдельное число пять. Связь между числами и вещами, которые они считают, разорвать трудно. Действительно ли пятерка, которая подсчитывает количество хлеба, — это та же самая пятерка, которая обозначает количество рыбы?

Этот вопрос действительно возник в конце XIX века, когда такие математики, как беспокойный немец Георг Кантор, начали думать о совокупностях объектов — о множествах. Как мы увидим в главе «Бесконечность», теория множеств выросла из религиозного стремления Кантора шагнуть в бесконечность, забраться высоко в бескрайние небеса. Однако первым использовать множества для размышлений об обычных числах — 0, 1, 2 и т. д. (такие числа мы обычно называем натуральными[99]) — стал другой немецкий математик, Готлоб Фреге.

Когда мы говорим о множестве из пяти хлебов и множестве из пяти рыб, ясно, что их можно легко связать между собой: каждый хлеб соединить с одной рыбой, а каждую рыбу — с одним хлебом. Такое точное сопоставление математики называют взаимно однозначным отображением, или биекцией. Мы также можем построить взаимно однозначные отображения между пятью хлебами и пятью кувшинами масла, или пятью американскими президентами, или пятью поп-звездами в бой-бенде. Все эти множества из пяти элементов можно связать между собой. Если мы хотим использовать теорию множеств для описания числа 5, какое из множеств нужно брать? Фреге понимал, что ни одно из этих множеств не может считаться особенным. Он заявил, что нет веских причин выбрать пять американских президентов вместо пяти хлебов или любого другого набора из пяти элементов. В интересах дипломатии он объявил, что число 5 — все такие множества, вместе взятые. Иными словами, это множество всех пятиэлементных множеств!

При таком формалистическом подходе можно обнаружить и ноль. Это множество всех множеств, в которых ничего нет. Что такое множество, в котором ничего нет? Существует только одно такое — пустое! Идея выглядит вполне последовательной. Например, мы могли бы определить пустое множество как множество квадратных чисел, которые одновременно являются простыми, или множество собак, которые при этом являются кошками.

Фреге начал разрабатывать основы арифметики с помощью такого нового теоретико-множественного языка, но, когда в печать отправился второй том его труда, в доме ученого взорвалась бомба. Она имела вид письма от британского философа, логика и математика Бертрана Рассела. Как всегда бывало у Рассела, письмо оказалось блестящим и уничтожило работу Фреге одним взрывом[100]. Идея Фреге предполагала, что всегда можно говорить о множестве всех множеств, обладающих определенным свойством. Вот почему ему было удобно использовать множество всех множеств с пятью элементами, чтобы