Геометрия скорби. Размышления о математике, об утрате близких и о жизни - Майкл Фрейм

физике мы имеем модель, где каждый выбор отсекает от нас все другие. Но действует ли данное разделение в мире людей, в мире облаков, в кошачьем мире? В дальнейшем мы об этом поразмышляем.

Это возвращает нас к теме скорби, реакции на безвозвратную утрату. Неужели вдумчивое изучение геометрии необратимым образом накладывает печать на наши представления о формах мироздания? В математике фантазия гораздо сильнее приближена к исследованию, чем в естественных науках. Здесь, как и в любой науке, необходимо приобрести базовые навыки. Однако математика избавляет от необходимости придумывать эксперименты, монтировать оборудование, проходить этическую экспертизу тех, кто намерен ставить опыты на живых объектах, подвергаться проверкам на безопасность и затем проводить эксперимент, собирать данные, и расшифровывать его результаты. В математике вы просто начинаете размышлять. Ну хорошо, в наше время порой вам приходится писать код, запускать процесс моделирования, но это тоже умственный процесс, а не физический, если не считать набора кода на клавиатуре компьютера. Мы изучаем миры, находящиеся у нас в голове. Исследуя какой-то один мир, мы отсекаем все остальные потенциальные миры, и эта утрата становится источником скорби при изучении математики. Это, конечно, не такая большая скорбь, какую мы ощущаем, потеряв близкого человека или питомца, но, тем не менее, тоже горькое чувство.

Вы можете подумать: как это глупо. Да и что такое – утрата? Разве мы не можем изменить направление своих мыслей в любой момент? В какой-то степени да, но стоит нам посмотреть на мир новым взглядом, и мы уже не можем избавиться от собственного ви́дения. Для наглядности приведу пример из фрактальной геометрии. Если вы не фанат геометрии, можете заменить ее любой другой столь же сложной и утонченной сферой деятельности по вашему вкусу.

Пока что не обращайте внимания на линии решетки, расчерчивающие рисунок на следующей странице. По-вашему, это простая или сложная фигура? Если она кажется вам простой, значит, вы можете точно объяснить, как ее нарисовать. Готовы?

А теперь посмотрите на решетку. Обратите внимание, что пять квадратов пусты. Оказывается, это почти всё, что нам требуется знать: стоит присмотреться к этим пустым квадратам, и мы сможем дорисовать всю фигуру. Это совсем несложно.

Начнем с решетки четыре на четыре квадрата. Сначала оставим пять пустых квадратов и полностью закрасим остальные одиннадцать. Получим картинку, изображенную на следующей странице первой в верхнем ряду. Затем уменьшим ее вдвое, скопируем и разместим одну копию слева, а две другие над первыми двумя. Результат представлен на картинке в центре первого ряда. Наконец из данной картинки вырежем пять больших квадратов, как это сделано на первой картинке. Получилась картинка справа.

Повторяем второй и третий шаги, каждый раз изменяя только что созданную картинку: берем последнее полученное изображение; уменьшаем его в два раза; копируем и размещаем одну копию слева, а две другие над первыми двумя и, наконец, вырезаем пять квадратов, как это было на самой первой картинке. На предыдущей странице вы видите, как начальное изображение изменяется на протяжении первых пяти повторений данного процесса. С каждым повторением фигура приближается к той, которую я показал вам в самом начале. Можно заметить, что малые элементы фигуры похожи на всю фигуру в целом. Если вы решили, что перед вами фрактал, так и есть[31].

Можно это представить как «фрактальную скуль-птуру». Говорят, Микеланджело утверждал, будто внутри каждого камня заключена скульптура. Мы только что продемонстрировали – для создания данного фрактала нужен лишь набор пустых квадратов и ряд повторяющихся действий. Получившаяся фигура может казаться сложной, но с этой точки зрения она проста. Не стоит удивляться, что то, насколько сложным выглядит объект, зависит от инструментов, с помощью которых мы его анализируем.

Стоит научиться распознавать фрактальные элементы объектов, и ваше восприятие поменяется навсегда. За многие годы я получил десятки мейлов от приятелей моих студентов с вариациями одной и той же жалобы: «Каждый раз, когда мы идем на занятия, мой сосед по комнате замечает какой-нибудь папоротник, или облако, или трещину на дорожке, и наш разговор прерывается восклицанием: „Это фрактал! Это фрактал!“ Прекратите уже рассказывать об этих фракталах! Сколько хороших бесед вы разрушили». Меня обвиняют в том, что я засоряю умы гуманитариев геометрией.

* * *

Я твердо полагаю, что фракталы невозможно игнорировать, как только вы их увидели. Они навсегда меняют картину мира, которая разворачивается в нашем сознании, навсегда меняют вид тех моделей, что мы выстраиваем.

Впервые я по-настоящему понял это на уроке геометрии в старших классах школы. Некоторое время мы занимались построениями с помощью циркуля и линейки: такие головоломки очень любили древние греки. Мы научились делить отрезки на две, три, четыре и любое количество равных частей. Затем наш учитель, мистер (Ральф) Гриффит, рассказал, что древние греки придумали три задачи, которые они не смогли решить: трисекцию угла (построение угла величиной в одну треть от заданного), квадратуру круга (построение квадрата той же площади, что и заданный круг) и удвоение куба (построение куба с объемом в два раза больше, чем у заданного).

Пока я ломал голову над этими задачами, у меня появилась идея. Возьмем угол AOB: проведем прямую линию от A до O и затем прямую до точки B (см. рисунок на следующей странице). Чтобы разделить угол AOB на три равных угла, подумал я, надо просто разделить на три части отрезок AB – отрезок прямой, соединяющий точки A и B. То есть найти на этом отрезке такие точки C и D, чтобы длина BC совпадала с длиной CD и длиной DA. Ведь мы как раз научились это делать. Тогда, предполагал я, углы AOD, DOC и COB будут равны, а следовательно, угол AOD будет равен одной трети от угла AOB. То, что эта простая идея – на самом деле, первое, что приходит в голову любому, – каким-то образом оставалась незамеченной на протяжении двух десятков веков, не показалось мне чем-то странным и неправдоподобным. У меня даже не закралось никаких сомнений. На мгновение в моем мозгу промелькнул газетный заголовок: «Ученик школы решил задачу, над которой две тысячи лет бились математики».

Я показал свои построения мистеру Гриффиту. У меня был крохотный рисунок, сделанный дешевым циркулем. Мой транспортир показывал практически равные углы. Мистер Гриффит с помощью более точного циркуля сделал рисунок крупнее. Его транспортир показал, что углы были неравны. Учитель не сказал: «Если б это было так просто, неужели ты думаешь, что за две тысячи лет никто не догадался так