Величайшие математические задачи - Йен Стюарт

Математика ударной волны — большой раздел среди уравнений частных производных, несмотря на разрывы в решениях. Хотя уравнение Навье — Стокса само по себе не является хорошей физической моделью для сжимаемых жидкостей, математическую модель можно модифицировать, добавив к уравнениям дополнительные условия, которые помогут учесть ударную волну и нарушение непрерывности в ней. Но в потоке несжимаемой жидкости ударные волны не возникают, так что можно по крайней мере предположить, что в этом случае решения должны существовать для каждого момента времени, каким бы сложным (но обязательно гладким) ни было начальное состояние потока.

Кое-какие положительные результаты для трехмерного уравнения Навье — Стокса уже имеются. Если в начальном состоянии поток характеризуется достаточно маленькими скоростями, т. е. течет вяло и очень медленно, то и первое, и второе утверждения верны. Эти утверждения верны даже при больших скоростях — на протяжении некоторого ненулевого промежутка времени. Неизвестно, существует ли решение, верное для любого момента в будущем, но есть некоторый промежуток времени, на котором решение существует точно. Может показаться, что эту логику рассуждений можно повторять без конца, продвигая решение вперед во времени на небольшие промежутки и используя всякий раз конечный результат как новое начальное состояние. Проблема с подобным подходом заключается в том, что временны́е интервалы при этом могут уменьшаться настолько стремительно, что бесконечное число шагов будет укладываться в конечное время. К примеру, если каждый последовательный шаг продвигает решение на половину времени, достигнутого на предыдущем шаге, то весь процесс закончится за время что равняется 2. Если решение прекращает существовать — в настоящее время это чисто гипотетическое предположение, но рассматривать его мы все же можем, то говорят, что решение, о котором идет речь, разрушается. Время, за которое это происходит, называется временем разрушения решения.

Так что в четырех задачах, по существу, спрашивается о том, могут ли решения разрушаться. Если не могут, верны утверждения 1 и 2; если могут — утверждения 3 и 4. Возможно, решения могут разрушаться в бесконечном пространстве, а на конечном плоском торе — не могут. Кстати говоря, если ответ на вопрос 1 положителен, то положителен ответ и на вопрос 2, потому что поток любой структуры на плоском торе можно интерпретировать как пространственно периодический поток в целом бесконечном пространстве. Речь идет о том, чтобы наполнить пространство копиями прямоугольника, о котором идет речь, и в каждом воспроизвести поток в точности той же структуры. Правила склеивания для тора гарантируют, что поток, пересекая эти плоские стыки, остается гладким. Аналогично если верно утверждение 4, то верно и утверждение 3 по той же причине. Мы просто делаем начальное пространство пространственно периодическим. Но, насколько мы сейчас в состоянии сказать, ответ на вопрос 2 может оказаться положительным даже при отрицательном ответе на вопрос 1.

Нам известен, однако, один поразительный факт, касающийся разрушения решений. Если существует решение с конечным временем разрушения, то максимальная скорость жидкости во всех точках пространства должна стать произвольно большой. Это могло бы произойти, к примеру, если бы сформировалась струя и скорость ее росла столь стремительно, что уже через конечный промежуток времени она улетела бы в бесконечность.

Это не чисто гипотетические возражения. Примеры подобного сингулярного поведения наблюдаются в некоторых других уравнениях классической математической физики. Замечательный пример можно найти в небесной механике. В 1988 г. Ся Чжихун доказал, что существует такая начальная конфигурация пяти материальных точек, или точечных масс, в трехмерном пространстве, где действует закон тяготения Ньютона, в которой четыре тела через конечный промежуток времени исчезают в бесконечности — тоже своего рода разрушение, а пятое переживает еще более значительные колебания. Ранее Джозеф Гервер указал, что пять тел на плоскости могут все раствориться в бесконечности за конечное время, но не смог завершить доказательство такого сценария. В 1989 г. он доказал, что разбегание такого рода определенно возможно на плоскости, если число тел достаточно велико.

Замечательно, что такое поведение возможно, ведь в подобных системах действует закон сохранения энергии. Конечно, если все тела движутся произвольно быстро, то полная кинетическая энергия системы должна расти? Ответ в том, что одновременно падает потенциальная энергия, а полная гравитационная потенциальная энергия материальной точки бесконечна. Должен сохраняться еще и момент импульса, но и это возможно, если некоторые из тел движутся все быстрее и быстрее по кругу все уменьшающегося диаметра.

Речь здесь идет о таком физическом явлении, как знаменитый эффект пращи, или гравитационный маневр, часто используемый при отправке исследовательских станций к далеким планетам Солнечной системы. Хороший пример — американский зонд «Галилео», в задачу которого входило долететь до Юпитера и исследовать эту гигантскую планету и ее многочисленные спутники. Зонд был запущен в 1989 г. и достиг цели в 1995 г. Путешествие длилось так долго, в частности, потому, что маршрут его был, мягко говоря, непрямым. Несмотря на то что орбита Юпитера находится дальше от Солнца, чем орбита Земли, «Галилео» в начале своего полета направился внутрь, к Венере. Он прошел вблизи Венеры, вернулся, чтобы пролететь мимо Земли, и отправился дальше в космос «взглянуть» на астероид Гаспра. Затем он вновь сблизился с Землей, еще раз обогнул нашу планету и наконец двинулся к Юпитеру. По пути он сблизился еще с одним астероидом, Идой, и обнаружил у него собственную крошечную луну — новый астероид, получивший название Дактиль.

Почему была выбрана такая извилистая траектория? От каждой встречи с планетой «Галилео» получал энергию и, следовательно, увеличивал скорость. Представьте себе, что космический зонд направляется к планете — не курсом столкновения, но так, чтобы пройти достаточно близко к поверхности и быстро развернуться за ней. После этого его должно вновь выбросить в дальний космос. Когда зонд проходит за планетой, они притягиваются друг к другу. Более того, они все время притягивались друг к другу, но на этой стадии полета сила притяжения становится максимальной и потому производит максимальное действие. Тяготение планеты как бы подталкивает зонд и придает ему дополнительную скорость. Суммарная энергия должна сохраняться, поэтому взамен зонд чуть замедляет движение планеты по орбите вокруг Солнца. Поскольку масса зонда очень мала, а масса планеты, напротив, очень велика, действием зонда на планету можно пренебречь. Действием планеты на зонд пренебречь нельзя: он может ускориться очень заметно.

«Галилео» прошел над поверхностью Венеры на высоте 16 000 км и получил прибавку скорости в 2,23 км/с. После этого он прошел в 960 км от Земли, а затем еще раз в 300 км, во второй раз добавив к своей скорости еще 3,7 км/с. Без этих маневров он не добрался бы до Юпитера, поскольку запускавшая его ракета не смогла бы направить его непосредственно туда. Первоначальный план, кстати говоря, предусматривал именно это: зонд предполагалось запустить на шаттле с кислородно-водородным разгонным блоком Centaur-G. Но катастрофа «Челленджера», когда космический челнок взорвался вскоре после старта, заставила отказаться от этого плана. Использование блока Centaur-G было запрещено. Пришлось воспользоваться для запуска «Галилео» менее мощным твердотопливным блоком IUS. Миссия была весьма успешна, среди ее научных результатов — наблюдение столкновения кометы Шумейкера — Леви с Юпитером, которое произошло в 1994 г., когда зонд был еще на пути к газовому гиганту.