Величайшие математические задачи - Йен Стюарт

Но помимо частиц была и другая причина стремиться прояснить вопрос с полями. Благодаря корпускулярно-волновому дуализму то и другое теснейшим образом связано. По существу, частица — это скомканный кусочек поля, а поле — это море плотно упакованных частиц. Эти две концепции неразделимы. К несчастью, разработанные к тому моменту методы были основаны на том, что частицы похожи на крохотные точки, и никак не распространялись на поля. Невозможно просто согнать множество частиц в одно место и назвать то, что получилось, полем, потому что частицы взаимодействуют друг с другом.

Представьте толпу людей… к примеру, в поле. Может быть, они собрались там послушать рок-концерт. Если посмотреть из пролетающего вертолета, толпа людей похожа на жидкость, хлюпающую в поле — часто буквально, как, к примеру, на фестивале в Гластонбери: известно, что поле там превращается в море грязи. Внизу, на земле, становится ясно, что на самом деле жидкость — это бурлящая масса отдельных частиц: людей. Или, возможно, тесных небольших групп людей, таких как несколько гуляющих вместе друзей, которые представляют собой неделимую единицу, или как группа незнакомых людей, объединенных общей целью — к примеру, походом в бар. Но невозможно точно смоделировать толпу, просто сложив воедино поведение отдельных людей (то, как они вели бы себя в одиночестве). Направляясь к бару, одна группа преграждает путь другой, группы сталкиваются и перемешиваются. Разработка эффективной квантовой теории поля напоминает моделирование поведения толпы, в которой роль людей выполняют локализованные квантовые волновые функции.

К концу 1920-х гг. физики убедились (в частности, при помощи подобных рассуждений), что, как бы трудна ни была задача, квантовую механику придется расширять, чтобы она могла описывать не только частицы, но и поля. Естественной отправной точкой для этого стало электромагнитное поле. Необходимо было каким-то образом квантовать и электрический, и магнитный его компоненты, т. е. переписать его характеристики на языке квантовой механики. Но тут возникали сложности. Математический аппарат квантовой механики был незнаком и к тому же выглядел крайне нефизически. То, что можно было увидеть и измерить, уже не выражалось добрыми старыми числами, а соответствовало операторам гильбертова пространства: математическим правилам, разработанным для работы с волнами. Эти операторы нарушали обычные постулаты классической механики. При перемножении двух чисел результат не зависит от их порядка; к примеру, 2 × 3 и 3 × 2 — это одно и то же. Это свойство сложения, известное как коммутативность, нарушается для многих пар операторов — примерно так же, как надеть сначала носки, а затем ботинки, не то же самое, что сначала надеть ботинки, а затем носки. Числа — существа пассивные, а вот операторы — активны. Действие, которое вы произведете первым, подготавливает сцену для дальнейших событий.

Коммутативность — очень приятное математическое свойство. Его отсутствие раздражает и мешает, поэтому, в частности, квантование поля оказалось такой хитрой задачей. Тем не менее она решаема. Электромагнитное поле удалось квантовать в несколько этапов. Начался этот процесс с теории электрона Дирака (1928 г.), а завершили его Синъитиро Томонага, Джулиан Швингер, Ричард Фейнман и Фримен Дайсон в конце 1940-х — начале 1950-х гг. Получившаяся в результате теория стала называться квантовой электродинамикой.

Точка зрения, использованная при разработке этой теории, давала подходы к методу, который мог бы применяться и более широко. В основе его лежала идея, восходившая непосредственно к Ньютону. Пытаясь решить уравнения, связанные с законом Ньютона, ученые открыли несколько полезных общих принципов, известных как законы сохранения. Дело в том, что при движении системы массивных тел некоторые величины остаются неизменными. Самая известная из них — энергия, которая бывает двух видов: кинетическая и потенциальная. Кинетическая энергия определяется тем, насколько быстро движется тело, а потенциальная — представляет собой работу, проделанную определенными силами. Когда камень падает со скалы, он как бы обменивает потенциальную энергию, связанную с тяготением, на кинетическую. Говоря обычным языком, он падает и ускоряется. Кроме этого, сохраняются такие величины, как импульс, равный произведению массы на скорость, и момент импульса, связанный со скоростью вращения тела. Сохраняющиеся величины связывают различные переменные, используемые для описания системы, и таким образом уменьшают их число. Это очень полезно при решении уравнений, как мы уже видели в главе 8, где речь шла о задаче двух тел.

К началу XX в. ученые разобрались в том, откуда взялись законы сохранения. Эмми Нетер доказала, что каждая сохраняющаяся величина соответствует непрерывной группе симметрий в уравнениях. Симметрия — это математическое преобразование, при котором уравнения не меняются. Все симметрии образуют группу с операцией «провести одно преобразование, затем другое». Непрерывная группа — это группа симметрий, определенная единственным действительным числом. К примеру, вращение вокруг заданной оси есть симметрия, и угол вращения может задаваться любым действительным числом, поэтому вращения — на все возможные углы — вокруг заданной оси образуют непрерывную группу. Из сохраняющихся величин с этой симметрией связан момент импульса, или вращательный момент. Точно так же сохранение импульса связано с непрерывной группой перемещений в заданном направлении. А как насчет энергии? Ее сохранение связанно с временны́ми симметриями — уравнения неизменны в любой момент времени.

Попытавшись унифицировать фундаментальные силы природы, физики убедились, что ключ к единой теории — именно симметрии. Первым такая унификация удалась Максвеллу, который соединил электричество и магнетизм в единое электромагнитное поле. Максвелл сделал это без привлечения симметрии, но вскоре стало ясно, что в его уравнениях присутствует особый вид симметрии, которого прежде никто не замечал: калибровочная симметрия. Создавалось впечатление, что она может стать стратегическим рычагом, при помощи которого ученым удастся открыть путь к более общим квантовым теориям поля.

Вращение и перенос — глобальные симметрии: они равно применимы в любой точке пространства и времени. Вращение вокруг определенной оси поворачивает на один и тот же угол каждую точку пространства. Не таковы калибровочные симметрии: это местные симметрии, они могут меняться от одной точки пространства к другой. В случае электромагнетизма местные симметрии — это смена фазы. Колебания электромагнитного поля в определенной точке обладают амплитудой (это размах колебаний) и фазой (это момент, в который колеблющаяся величина достигает своего максимума). Если взять решение уравнений поля Максвелла и в каждой точке поменять фазу, то получится другое решение (если, конечно, вы внесете в описание поля соответствующее компенсирующее изменение, включающее местный электромагнитный заряд).

Калибровочные симметрии ввел в обращение Герман Вейль в безуспешной попытке добиться дальнейшей унификации электромагнетизма и общей теории относительности, т. е. электромагнитных и гравитационных сил. Название появилось в результате недопонимания: он считал, что правильная местная симметрия должна означать изменение пространственного масштаба, т. е. «калибровку». Из этой идеи ничего не получилось, но логика квантовой механики заставила Владимира Фока и Фрица Лондона предложить другой тип местной симметрии. Квантовая механика формулируется с использованием не только действительных, но и комплексных чисел, и каждая квантовая волновая функция имеет комплексную фазу. Значимые местные симметрии вращают фазу на любой угол на комплексной плоскости. В принципе, эта группа симметрий включает в себя все вращения, но в комплексных координатах все они представляют собой «унитарные трансформации» (U) в пространстве с одним комплексным измерением (1), поэтому группа, сформированная этими симметриями, обозначается как U(1). Формальные обозначения здесь не просто математическая игра: они позволили физикам записать, а затем и решить уравнения для заряженных квантовых частиц, движущихся в электромагнитном поле. Именно благодаря этому Томонага, Швингер, Фейнман и Дайсон разработали первую релятивистскую квантовополевую теорию электромагнитных взаимодействий: квантовую электродинамику. Симметрия калибровочной группы U(1) играла в их работах фундаментальную роль.