Как не ошибаться. Сила математического мышления - Джордан Элленберг

Мы уже видели такие рисунки. Те самые рисунки, которые две тысячи лет назад использовали Архимед и Евдокс, когда разрабатывали метод исчерпывания. Последний рисунок похож на окружность с диаметром в одну единицу. Но на самом деле это многоугольник, состоящий из 65 536 крохотных иголок. Ваши глаза не заметят разницы, так же как не заметит ее и пол. Это означает, что ожидаемое количество пересечений окружности диаметром в одну единицу в точности такое же, что и ожидаемое количество пересечений 65536-угольника. А согласно правилу согнутой иглы, это количество равно Np, где N – это периметр многоугольника. Чему равен этот периметр? Он должен быть в точности таким же, что и длина окружности; радиус окружности равен 1/2 единицы, а значит, длина этой окружности равна π. Следовательно, ожидаемое количество пересечений окружности с краями планки равно πp.

Как вы воспринимаете такое усложнение задачи? Не кажется ли вам, что мы делаем задачу все более абстрактной и все более обобщенной, даже не ответив на основной вопрос: что такое p?

Так вот, представьте себе: мы только что вычислили это значение.

Ведь вопрос теперь звучит так: сколько пересечений делает окружность? Совершенно неожиданно задача, казавшаяся сложной, становится простой. Симметрия, которую мы потеряли, когда перешли от круга к игле, восстановлена посредством сгибания иглы в кольцо. А это существенно упрощает задачу. Не имеет значения, куда упадет круг, – он пересекает линии на полу ровно два раза.

Таким образом, ожидаемое количество пересечений равно 2; оно же равно πp. Следовательно, мы можем сделать вывод, что p = 2 / π, как и говорил Бюффон. На самом деле представленная выше аргументация применима к любой игле, какой бы многосторонней или изогнутой она ни была: ожидаемое количество пересечений равно Lp, где L – это длина иглы в единицах, равных ширине планки. Бросьте на кафельный пол груду спагетти – и я смогу точно сказать, какое число пересечений линий с макаронинами следует ожидать. Математические остряки называют этот обобщенный вариант задачей Бюффона о лапше.

Доказательство Барбье напоминает мне слова Пьера Делиня, специалиста по алгебраической геометрии, сказанные им о своем учителе Александре Гротендике: «Кажется, будто ничего не происходит, и все-таки в итоге получается в высшей степени нетривиальная теорема»{169}.

У людей непосвященных порой складывается впечатление, что математика сводится к применению все более и более мощных инструментов для все более глубокого погружения в неизведанное, подобно тому как строители тоннелей пробиваются сквозь скалу с помощью все более мощных взрывчатых веществ. Но это только один из возможных способов. Александр Гротендик, который в 1960–1970-х годах переделал большую часть чистой математики по своему разумению, смотрел на это иначе:

Неизведанное – это камень в море, который препятствует нашему развитию. Мы можем попытаться воткнуть динамит в щели, взорвать его и повторять все это до тех пор, пока камень не развалится на части, как сделал Бюффон со своими сложными вычислениями. Или можно придерживаться более созерцательного подхода, позволяющего вашему уровню понимания постепенно и спокойно повышаться, пока через какое-то время то, что раньше казалось препятствием, не исчезнет под спокойной водой.

Математика в современном ее виде представляет собой тонкое взаимодействие между монашеским созерцанием и взрывами динамита.

Барбье опубликовал свое доказательство теоремы Бюффона в 1860 году, когда ему исполнился двадцать один год и он был многообещающим студентом Высшей нормальной школы (École normale supérieure) в Париже. В 1865 году, оказавшись на грани тяжелого нервного срыва, он уехал из города, не оставив нового адреса. Ни один математик больше не встречал Барбье, пока в 1880 году старый учитель Жозеф Бертран не нашел его в одной из психиатрических лечебниц. Что касается Гротендика, в 1980-х годах он также оставил академическую математику и живет сейчас в селинджеровском уединении где-то в Пиренеях. Никто не знает, над какими математическими задачами он работает, если вообще работает. Ходят слухи, что ученый просто пасет овец[181].

Эти истории перекликаются с популярным мифом о математике: что она сводит с ума или сама является одной из разновидностей помешательства. Дэвид Фостер Уоллес, самый математически образованный из всех современных прозаиков (однажды он сделал перерыв в написании художественных произведений, чтобы написать целую книгу о теории трансфинитных множеств!), называл этот миф «математической мелодрамой» и описывал его главного героя как «человека типа Прометея и Икара, высший гений которого – это также его гордыня и пагубный порок». В таких фильмах, как A Beautiful Mind («Игры разума)», Proof («Доказательство») и Pi («Пи»), математика используется в качестве символа для обозначения одержимости и бегства от реальности. А в детективе Скотта Туроу Presumed Innocent («Презумпция невиновности»)[182] сюжет построен на том, что жена главного героя, математик, оказалась психически больным убийцей. (В книге присутствует явный намек на то, что именно попытки приспособить разум женщины к математике подтолкнули убийцу к безумию.) Одну из последних версий этого мифа можно найти в романе Марка Хэддона The Curious Incident of the Dog in the Night-Time («Загадочное ночное убийство собаки»)[183], в котором математический талант проявляется как одно из расстройств аутического спектра.