Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - Стивен Строгац

Чтобы понять, какова во всем этом роль анализа, сначала нужно понять, какую проблему решает томография и каким образом.

Представьте себе, как излучение проходит через ткани мозга. По мере прохождения лучи обнаруживают серое вещество, белое вещество, возможные опухоли, сгустки крови и так далее. Эти ткани поглощают энергию излучения в большей или меньшей степени – в зависимости от их типа. Цель томографии – составить карту поглощения по всему срезу. На основе этой информации КТ может обнаружить наличие опухолей или сгустков. КТ не видит мозг непосредственно; она видит схему поглощения рентгеновских лучей в мозге.

Математика здесь работает так. Когда рентгеновский луч проходит через данную точку среза мозга, он теряет часть энергии. Эта потеря похожа на ослабление видимого света, который проходит через солнцезащитные очки и становится менее ярким. Сложность тут в том, что на пути луча встает целая последовательность различных мозговых тканей, а потому они подобны целому ряду солнечных очков, одни перед другими, и все с разной степенью прозрачности, которую мы не знаем. Как раз ее-то мы и хотим выяснить!

Из-за изменчивости степени поглощения для различных тканей, когда лучи проходят сквозь мозг и попадают в детектор на противоположной стороне аппарата, их интенсивность снижается на разные величины. Чтобы вычислить результирующий эффект всех этих затуханий, нужно определить, насколько снижается интенсивность при бесконечно малом продвижении луча через ткань, а затем соответствующим образом скомбинировать все результаты. Такой расчет сводится к интегралу.

Появление здесь интегрального исчисления не должно вызывать удивления. Это самый естественный способ найти подход к решению столь сложной задаче. Как всегда, мы обращаемся к принципу бесконечности. И прежде всего представляем, что путь луча делится на бесконечное количество бесконечно малых шагов, затем выясняем, как интенсивность ослабляется на каждом из них, после чего складываем все эти изменения, чтобы вычислить суммарное ослабление вдоль линии движения луча.

К сожалению, сделав это, мы получим только небольшую часть информации. Мы узнаем общее ослабление рентгеновских лучей только вдоль одного конкретного пути луча. Это мало что говорит нам о срезе мозга в целом. Это мало что говорит даже о том конкретном пути, по которому шел рентгеновский луч. Это просто суммарное ослабление по всей линии, а не закон, по которому происходит ослабевание в каждой ее точке.

Позвольте мне предложить такую аналогию: подумайте, сколькими способами можно сложить целые числа, чтобы получить 6. Так же как число 6 может оказаться результатом сложения 5 + 1, или 2 + 4, или 3 + 3, так и итоговое ослабление рентгеновских лучей может оказаться результатом самых различных последовательностей локальных ослаблений. Например, было сильное затухание в начале пути и слабое – в конце. А может, и наоборот. Или, возможно, затухание было постоянным по всей протяженности. Мы не можем выбрать истинный вариант, имея всего одно измерение.

Но как только мы осознаем эту трудность, тут же понимаем, как с ней справиться. Нужно испускать лучи по множеству разных направлений. В этом суть компьютерной томографии. Пропуская рентгеновские лучи через одну точку в разных направлениях и повторяя этот процесс для различных точек, мы в принципе можем определить коэффициенты ослабления интенсивности в любой точке мозга. Это не совсем то же самое, что смотреть на мозг, но почти настолько же эффективно, поскольку предоставляет информацию о том, какие типы ткани расположены в тех или иных областях мозга.

Таким образом, математическая задача – собрать информацию от всех измерений по всем прямым в единую связную двумерную картину на определенном срезе мозга. Именно здесь на помощь пришел анализ Фурье. Он позволил южноафриканскому физику Аллану Кормаку решить проблему такой обратной сборки[304]. Кормак обратился к анализу Фурье, поскольку за этой задачей скрывается окружность – окружность всех направлений, по которым рентгеновские лучи можно запускать в двумерный срез.

Вспомните, что окружности всегда связаны с синусоидами, а синусоиды – строительные блоки для рядов Фурье. Записав задачу обратной сборки в терминах рядов Фурье, Кормак смог свести двумерную задачу обратной сборки к более простой одномерной задаче. По сути, он избавился от 360° возможных углов. Затем, проявив недюжинное математическое мастерство, он сумел решить одномерную задачу обратной сборки. В итоге по измерениям, сделанным по всем возможным направлениям, он смог определять свойства тканей внутри. Он построил карту поглощений, а это почти то же, что и увидеть сам мозг.

В 1979 году Кормак разделил с Годфри Хаунсфилдом Нобелевскую премию по физиологии и медицине за разработку компьютерной томографии. Ни тот ни другой не были врачами. Кормак разрабатывал математическую теорию томографии на основе анализа Фурье с конца 1950-х годов. Хаунсфилд, британский инженер-электрик, в сотрудничестве с рентгенологами изобрел сканер в начале 1970-х.

Изобретение сканера-томографа – еще одно подтверждение необъяснимой эффективности математики. В этом случае идеи, которые позволили воплотить в жизнь КТ-сканирование, существовали уже более полувека и не имели никакого отношения к медицине.

Следующая часть истории началась в конце 1960-х. Хаунсфилд уже испытал прототип своего изобретения на мозге свиней и отчаянно пытался найти врача-рентгенолога, который помог бы ему работать с людьми, но доктора отказывались с ним встречаться. Все считали его ненормальным, зная, что рентгеновские лучи не показывают мягкие ткани. Например, обычный рентгеновский снимок головы показывал череп, но при этом мозг выглядел как невыразительное облако: опухоли, кровоизлияния и тромбы были не видны. Однако Хаунсфилд утверждал обратное.

Наконец один рентгенолог согласился его выслушать. Разговор не удался. В конце беседы скептически настроенный врач вручил Хаунсфилду банку с человеческим мозгом, пораженным опухолью, и предложил найти эту опухоль с помощью сканера. Как же он был ошеломлен, когда Хаунсфилд вскоре предоставил ему изображения мозга, где отображались не только опухоль, но и места кровотечения.

Слухи о томографе распространились, что привлекло к исследованиям других специалистов. Когда в 1972 году Хаунсфилд опубликовал свои результаты, они потрясли медицинский мир. Рентгенологи внезапно смогли применять рентгеновские лучи, чтобы видеть опухоли, кисты, серое вещество, белое вещество и заполненные жидкостями полости в мозге.

Когда-то волновая теория и анализ Фурье начинались с исследования музыки. По иронии судьбы в ключевой момент развития компьютерной томографии музыка снова оказала неоценимую помощь. Революционные идеи пришли к Хаунсфилду, когда он в середине 1960-х работал в компании Electric and Musical Industries. Сначала он занимался радарами и управляемым оружием, а затем обратился к разработке первого в Британии компьютера, целиком построенного на транзисторах. После таких ошеломляющих успехов EMI решила поддержать Хаунсфилда и предоставить ему для следующего проекта все, что ему потребуется. В тот момент EMI купалась в деньгах и могла себе позволить рисковать. Прибыли компании удвоились после того, как она подписала контракт с группой из Ливерпуля под названием Beatles[305].