Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - Стивен Строгац

Однако многое в природе устроено гораздо сложнее. Когда части системы взаимодействуют, сотрудничают или конкурируют друг с другом, происходят нелинейные взаимодействия. Большая часть нашей повседневной жизни нелинейна: если вы одновременно станете слушать две любимые песни, то не получите двойного удовольствия. То же касается употребления алкоголя или лекарственных препаратов, где эффект взаимодействия может даже привести к смерти. Напротив, сочетание арахисового масла и джема прекрасно. Они не просто складываются – они усиливают воздействие друг друга[320].

Нелинейность отвечает за богатство мира, его красоту и сложность, а нередко и непостижимость. Например, вся биология нелинейна, как и социология. Вот почему гуманитарные науки сложны и математизируются в последнюю очередь.

То же различие между линейностью и нелинейностью относится и к дифференциальным уравнениям, но здесь ситуация менее интуитивно понятна. Единственное, что нужно сказать, – когда дифференциальные уравнения нелинейны, как в случае вращения твердого тела, исследованного Ковалевской, их крайне сложно решать. Со времен Ньютона математики по возможности избегали нелинейных дифференциальных уравнений. Они считаются противными и непокорными.

Напротив, линейные уравнения милы и покладисты. Математики любят их, поскольку они просты. Для их решения существует отлично развитая теория. Действительно, примерно до 1980-х годов традиционное образование в области прикладной математики было практически полностью посвящено изучению методов использования линейности. Годы уходили на освоение рядов Фурье и прочих методов, пригодных для решения линейных уравнений.

Большое преимущество линейности – возможность редукционистского мышления. Чтобы решить линейную задачу, мы можем разбить ее на простейшие части, решить каждую по отдельности и сложить вместе для получения общего ответа. Свое уравнение теплопередачи (которое было линейным) Фурье решил с помощью именно такой редукционистской стратегии. Он разложил сложное распределение температуры на синусоиды, выяснил, как будет меняться каждая синусоида по отдельности, а затем снова скомбинировал их, чтобы спрогнозировать, как будет меняться общая температура вдоль нагретого металлического стержня. Стратегия сработала, потому что уравнение теплопередачи линейно. Оно делится на части, не теряя своей сути.

Софья Ковалевская помогла нам осознать, насколько иным становится мир, когда мы сталкиваемся с нелинейностью. Она поняла, что нелинейность накладывает ограничения на человеческую гордыню. Когда система нелинейна, ее поведение порой невозможно предсказать с помощью формул, даже если оно полностью детерминировано. Иными словами, детерминизм не предполагает предсказуемости. Потребовалось движение волчка – детской игрушки, – чтобы сделать нас более смиренными в отношении того, что мы можем хотя бы надеяться узнать.

Хаос

В ретроспективе мы можем более ясно понять, почему у Ньютона болела голова, когда он пытался решить задачу трех тел. Такая задача неизбежно нелинейна – в отличие от задачи двух тел, которую можно сделать линейной. Нелинейность вызвана не переходом от двух тел к трем, а структурой самих уравнений. Для двух тел, притягивающих друг друга, нелинейность можно устранить с помощью удачной замены переменных в дифференциальных уравнениях. Для трех и большего количества тел это не получится.

Потребовалось много времени, чтобы полностью оценить уничижающие последствия нелинейности. Математики веками ломали голову над задачей трех тел, но даже при наличии определенного прогресса никто не мог разобраться с нею до конца. В конце 1800-х годов французский математик Анри Пуанкаре полагал, что решил ее, но в вычисления закралась ошибка[321]. Когда он ее исправил, задача ему по-прежнему не поддавалась, зато он обнаружил нечто более важное – явление, которые мы сегодня называем хаосом.

Хаотические системы причудливы[322]. Маленькое изменение начальных условий может привести к огромным отличиям в конце. А все потому, что эти маленькие начальные изменения растут экспоненциально быстро. Любая крохотная ошибка или возмущение растут настолько быстро, что в долгосрочной перспективе система становится непредсказуемой. Хаотические системы не случайны – они детерминированы и потому предсказуемы в краткосрочном периоде. Но в долгосрочном из-за высокой чувствительности к начальным условиям во многих отношениях выглядят действительно случайными.

Хаотические системы можно неплохо прогнозировать до определенного момента, называемого горизонтом предсказуемости[323]. До него детерминизм системы обеспечивает прогнозируемость. Например, горизонт предсказуемости для всей Солнечной системы рассчитан примерно на четыре миллиона лет[324]. Для времени, намного меньшего, чем эта величина (например, для одного года, необходимого для вращения Земли вокруг Солнца), все работает, как часы. Но стоит нам продвинуться на несколько миллионов лет, как все резко меняется. Мелкие гравитационные возмущения между всеми телами Солнечной системы накапливаются до такой степени, что мы больше не можем точно прогнозировать ее поведение.

Существование горизонта предсказуемости вытекало из работы Пуанкаре. До него считалось, что ошибки будут расти во времени линейно, а не экспоненциально: если удвоить время, то удвоится и ошибка. При линейном росте ошибок для более длительного прогнозирования достаточно улучшить качество измерения. Но когда ошибки растут экспоненциально быстро, говорят, что система чувствительна к начальному состоянию. В этом случае долгосрочное прогнозирование становится невозможным. Это с философской точки зрения разочаровывающее послание хаоса.

Важно понять, что в этом нового. Люди всегда знали, что для больших сложных систем, таких как погода, трудно делать предсказания. Сюрпризом стало то, что столь же непредсказуемой оказалась система куда проще – вращающееся вокруг точки твердое тело или три притягивающихся тела. Это был шок и еще один удар по наивному лапласовскому смешиванию детерминизма и предсказуемости.

Если говорить о плюсах, то в хаотических системах благодаря их детерминистскому характеру сохраняются остатки порядка. Пуанкаре разработал новые методы анализа нелинейных систем, включая хаотические, и нашел способ извлечь из них скрытый порядок. Вместо формул и алгебры он использовал рисунки и геометрию. Его качественный подход помог посеять семена в таких областях, как топология и теория динамических систем. Благодаря его основополагающей работе теперь мы гораздо лучше понимаем порядок и хаос.