Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - Стивен Строгац

Хаунсфилд обратился к руководству с идеей визуализации внутренних органов с помощью рентгеновских лучей, и глубокие карманы EMI позволили ему сделать первый шаг. Он придумал собственный подход к решению математической задачи обратной сборки, не зная, что Кормак уже решил ее десять лет назад. А Кормак, в свою очередь, не знал, что австрийский математик Иоганн Радон решил ее на сорок лет раньше как чисто математическую проблему, не предполагая практического применения. Математические инструменты, необходимые для компьютерной томографии, на полвека опередили свое время.

В своей Нобелевской речи Кормак упомянул, что он и его коллега Тодд Квинто позднее познакомились с результатами Радона и пытались обобщить их на трехмерные и даже четырехмерные области. Должно быть, аудитории было трудно это понять. Зачем кому-то изучать четырехмерный мозг? Кормак объяснял[306]:

Название этой главы может вызвать недоумение у тех, кто считает анализ завершенным. Какое у него может быть будущее? Он же закончен, разве нет? Именно это на удивление часто можно услышать в математических кругах. В нынешней интерпретации анализ начался взрывом благодаря прорыву Ньютона и Лейбница. Их открытия привели к золотой лихорадке 1700-х, когда озорные, почти головокружительные исследования позволяли разгуляться голему бесконечности. Предоставив ему полную свободу действий, математики получили множество впечатляющих результатов, но также породили массу бессмыслицы и сумятицы. Поэтому в 1800-х следующие поколения математиков, более строго относившиеся к своей работе, снова загнали голема в клетку. Они убрали из анализа бесконечность и бесконечно малые величины, укрепили фундамент предмета и окончательно прояснили, что на самом деле означают пределы, производные, интегралы и действительные числа. Примерно к 1900 году операции по зачистке были закончены.

На мой взгляд, такое представление об анализе слишком однобоко. Ведь анализ – это не только работы Ньютона, Лейбница и их последователей. Его история началась намного раньше и развивается до сих пор. Для меня анализ определяется его кредо: чтобы решить сложную задачу о чем-то непрерывном, разрежьте ее на бесконечно много частей, решите их и, собрав затем ответы воедино, сможете понять смысл исходного целого. Я назвал это кредо принципом бесконечности.

Принцип бесконечности существовал с самого начала: в работах Архимеда с криволинейными формами; во время научной революции; в ньютоновской системе мира; есть он и сейчас – в наших домах, наших автомобилях и наших офисах. Он помог нам разработать GPS, мобильные телефоны, лазеры и микроволновые печи. ФБР использовало его для сжатия миллионов файлов отпечатков пальцев. Аллан Кормак применил для создания теории КТ-сканирования. И ФБР, и Кормак решали сложную задачу, собрав ее из более простых частей: вейвлеты для отпечатков пальцев, синусоиды для компьютерной томографии. С этой точки зрения анализ – это обширная коллекция идей и методов, используемых для изучения чего угодно: любой закономерности, любой кривой, любого движения, любого природного процесса, системы или явления, которые меняются плавно и непрерывно, а потому могут стать основой для принципа бесконечности. Это широкое определение выходит далеко за рамки анализа Ньютона и Лейбница и включает его потомков: анализ функций нескольких переменных, обыкновенные дифференциальные уравнения, уравнения в частных производных, анализ Фурье, теорию функций комплексной переменной и многие другие разделы высшей математики, где появляются пределы, производные и интегралы. С этой точки зрения анализ не завершен. Он по-прежнему развивается.

Но здесь я в меньшинстве. Фактически я его и составляю. Никто из моих коллег по математическому факультету не согласится с тем, что все это анализ, и не без оснований: это было бы абсурдно. Иначе половину курсов в учебной программе пришлось бы переименовать. Наряду с Анализом 1, 2 и 3, у нас был бы Анализ с 4 по 38[307]. Прямо скажем, не очень наглядно. Поэтому мы даем собственные названия каждой ветви анализа и затемняем непрерывную связь между ними. Мы разрезаем анализ на мелкие потребляемые части. Какая ирония, учитывая, что и сам анализ делит непрерывные вещи на части, чтобы облегчить их понимание. Позвольте уточнить: я не возражаю против разных названий курсов. Я всего лишь хочу сказать, что такая нарезка может ввести в заблуждение и заставить нас забыть, что все эти части взаимосвязаны и составляют нечто большее. Цель этой книги – показать анализ как единое целое, помочь ощутить его красоту, единство и величие.

Так что же ожидает анализ в будущем? Как говорится, предсказывать всегда трудно, особенно будущее[308], но я с уверенностью могу предположить, что в ближайшие годы будут преобладать следующие тенденции:

1. Новые приложения анализа к общественным наукам, музыке, искусству и гуманитарным дисциплинам.

2. Продолжение использования анализа в медицине и биологии.

3. Преодоление случайностей, присущих финансам, экономике и погоде.

4. Анализ на службе больших данных и наоборот.

5. Постоянная работа с нелинейностью, хаосом и сложными системами.

6. Развитие партнерства между анализом и компьютерами, включая искусственный интеллект.

7. Расширение границ анализа в квантовой области.

Это очень широкий охват. И, вместо того чтобы говорить понемногу о каждой из упомянутых тем, я сосредоточусь на некоторых из них. После краткого знакомства с дифференциальной геометрией ДНК, где тайна кривых встречается с тайной жизни, мы рассмотрим ряд исследований, которые, я надеюсь, вы сочтете представляющими интерес с философской точки зрения. К ним относятся проблемы прогнозов, связанные с увеличением хаоса, теорией сложности, компьютерами и искусственным интеллектом. Однако для того, чтобы все это обрело смысл, нам нужно рассмотреть основы нелинейной динамики. Изучение такого контекста позволит лучше понять стоящие перед нами задачи.