Бесконечная сила. Как математический анализ раскрывает тайны вселенной - Стивен Строгац

Я ожидаю, что в будущем мы увидим еще больше примеров непрерывного применения анализа и математики к принципиально дискретным биологическим объектам: генам, клеткам, белкам и прочим актерам на биологической сцене. Слишком много можно получить от приближения континуумом, чтобы отказаться им пользоваться. Пока мы не разработаем новую форму анализа, которая будет работать для дискретных систем так же хорошо, как традиционный анализ для континуумов, при математическом моделировании жизни нас по-прежнему будет направлять принцип бесконечности.

Детерминизм и его пределы

Наши следующие две темы – развитие нелинейной динамики и влияние компьютеров на анализ. Я выбрал их потому, что они весьма интригующи с философской точки зрения, поскольку могут навсегда изменить природу прогнозирования и привести к новой эпохе в анализе – и в науке в целом, – где человеческая проницательность может начать угасать, хотя наука сама по себе все еще будет развиваться. Чтобы прояснить, что я имею в виду под этим несколько апокалиптическим предупреждением, нам нужно понять, как вообще возможно предсказание, что оно означало классически и как наши классические представления пересматриваются в связи с открытиями, сделанными за последние десятилетия в нелинейных системах, хаосе и сложных системах.

В начале 1800-х французский математик и астроном Пьер-Симон Лаплас[313] довел детерминизм ньютоновской вселенной в виде часового механизма до логического завершения. Он представил богоподобный интеллект (сегодня именуемый демоном Лапласа), который мог бы отследить положение всех атомов во Вселенной и всех действующих на них сил. Он писал: «Будь такой разум также достаточно обширен, чтобы подвергнуть эти данные анализу… для него ничего не было бы неясного, и будущее существовало бы в его глазах точно так же, как прошлое»[314],[315].

По мере приближения к XX веку такая экстремальная формулировка определения Вселенной как часового механизма стала казаться с научной и философской точек зрения несостоятельной сразу по нескольким различным причинам. Одна из причин была обусловлена анализом, и мы должны благодарить за это Софью Ковалевскую[316]. Ковалевская родилась в 1850 году и выросла в аристократической семье в Москве. Когда ей было одиннадцать лет, она обнаружила, что буквально окружена анализом, поскольку стена ее спальни была оклеена листами из курса лекций, которые ее отец посещал в юности. Позднее она писала, что «в детстве проводила целые часы перед этой таинственной стеной, пытаясь разобрать хоть отдельные фразы и найти тот порядок, в котором листы должны следовать друг за другом»[317]. Она стала первой в истории женщиной – профессором математики.

Хотя Ковалевская рано проявила склонность к математике, российские законы не позволяли ей поступить в университет. Она вступила в фиктивный брак, который причинил ей много страданий в последующем, но, по крайней мере, позволил выехать в Германию[318], где она поразила своим талантом нескольких профессоров. Однако даже там Ковалевской официально не разрешали посещать занятия. Она договорилась о частных уроках с Карлом Вейерштрассом и по его рекомендации была удостоена докторской степени за решение нескольких важных задач в анализе, динамике и уравнениях в частных производных. В конце концов она стала профессором Стокгольмского университета и преподавала там восемь лет, однако в 41 год умерла от воспаления легких. В 2009 году лауреат Нобелевской премии Элис Манро опубликовала о ней рассказ под названием «Слишком много счастья».

Взгляды Ковалевской на границы детерминизма сформировались вследствие ее работ по динамике твердых тел. Твердое тело – это математическая абстракция объекта, который нельзя согнуть или деформировать; все его точки жестко соединены друг с другом. Примером может служить волчок. Это твердое тело, состоящее из бесконечного количества точек, а потому более сложный механический объект, чем одноточечные частицы, которые рассматривал Ньютон. Движение твердых тел важно для астрономии – так описываются самые разные явления, от хаотического кувыркания Гипериона[319], маленького спутника Сатурна, похожего на картофелину, до размеренного вращения капсулы космического корабля или спутника.

Изучая динамику твердых тел, Ковалевская получила два важных результата. Первый относился к вращению тела, движение которого можно проанализировать полностью, – так же как Ньютон решил задачу двух тел. Два случая разрешимости задачи о вращении твердого тела вокруг неподвижной точки были уже известны; Ковалевская нашла третий.

Еще важнее было доказательство, что других разрешимых случаев не существует: она нашла последний. Все остальные не поддаются интегрированию, то есть их динамику нельзя определить с помощью формул в духе Ньютона. И проблемы тут не в недостаточной искусности; Ковалевская доказала, что просто не может существовать формул определенного вида (на математическом языке – мероморфной функции времени), которые могли бы описать вращение тела. Таким образом, она ограничила возможности анализа. Если даже вращающийся волчок мог бросить вызов демону Лапласа, никакой надежды – даже в принципе – найти формулу судьбы Вселенной не было.

Нелинейность

Неразрешимость, обнаруженная Софьей Ковалевской, связана со структурой уравнений для вращающегося твердого тела: эти уравнения нелинейны. Здесь нас не интересует технический смысл нелинейности. Для наших целей достаточно ощутить разницу между линейными и нелинейными системами, а для этого рассмотрим несколько примеров из повседневной жизни.

Чтобы проиллюстрировать, на что похожи линейные системы, предположим, что на весах одновременно взвешиваются два человека – просто ради смеха. Их общая масса будет суммой отдельных масс. Причина в том, что весы – это линейное устройство. Массы людей не взаимодействуют друг с другом и не делают ничего заковыристого, о чем нам следовало бы знать. Например, тела не сговариваются друг с другом, чтобы выглядеть легче, и не вредят друг другу, чтобы казаться тяжелее. Массы просто складываются. В линейной системе, подобной весам, целое равно сумме частей. Это первое ключевое свойство линейности. Второе свойство – причины пропорциональны следствиям. Представьте, что вы натягиваете тетиву лука. Чтобы оттянуть ее на определенное расстояние, требуется определенная сила, а чтобы расстояние увеличилось вдвое, нужно приложить вдвое больше силы. Причина и следствие пропорциональны. Эти два свойства – пропорциональность между причиной и следствием и равенство целого сумме частей – суть того, что значит быть линейным.