Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - Алексей Михайлович Семихатов

крайне не нравилось). Но Планк вооружился энтропией, а сила подходов, вовлекающих энтропию, как раз и состоит в возможности гусарского отношения к деталям. Не обязательно знать тонкости внутреннего устройства, достаточно допустить, что там имеется нечто максимально простое, способное излучать на каждой частоте, а именно множество колебательных систем – зарядов, колеблющихся с разными частотами. Между собой они находятся в состоянии теплового равновесия. Как мы видели, молекулы в газе в состоянии теплового равновесия «расталкивают» друг друга так, что устанавливается вполне определенное распределение молекул по энергиям; здесь же колебательные системы с различными частотами «расталкивают» друг друга путем обмена энергией так, что тоже устанавливается некоторое равновесное распределение по энергиям. О том, каким оно получилось, мы судим по характеру излучения: по тому, какую долю всей излучаемой энергии несут различные частоты[192].

Используя основные теоретические концепции, известные к тому моменту, Планк нашел, как в равновесии должна выглядеть связь между средней энергией колеблющихся зарядов и энергией, которую несет излучение с данной частотой. Соединив этот результат с формулой Вина (глупо было делать вид, что ее нет), Планк получил знание про энтропию, которое его очень вдохновило: зависимость энтропии от средней энергии колебательных систем управлялась уравнением, которое подсказывало, что энтропия всегда возрастает. Оставалось полшага до обратного вывода, который и был целью Планка: взяв в качестве первопринципа закон возрастания энтропии и использовав найденную им связь между средними энергиями, вывести закон Вина теоретически! Увы, это было невозможно. Мы отлично знаем это сейчас, и это же стало предельно ясно в октябре 1900 г., когда появились новые данные экспериментов. Они говорили, что природа описывается законом Вина не вполне точно – и тем хуже, чем больше длина волны излучения. Расхождения были очевидными, и они означали, что «подгоночный» закон Вина не является фундаментальным, а значит, его нельзя строго вывести из фундаментальных принципов. Надежды Планка снова рухнули.

Планк тем не менее продолжал думать в терминах уравнения для энтропии, которое говорило, как она зависит от энергии. Он волюнтаристски изменил это уравнение: несколько усложнил его, внеся туда элементы, которые могли опосредованным образом отражать новые экспериментальные данные для длинных волн. С использованием нового – строго говоря, ниоткуда не следовавшего – уравнения делом техники было получить новое выражение для того, как энергия распределена по колебаниям в веществе и как заодно она распределена по разным частотам излучения. Волшебным образом оказалось, что новое выражение для интенсивности излучения в зависимости от длины волны отлично согласуется с наблюдениями для всех длин волн. Заодно выяснилось, что закон излучения Вина – это упрощение новой формулы, допустимое для достаточно коротких волн. Одна из двух декабрьских статей Планка называлась «Об одном улучшении закона излучения Вина»; это улучшение теперь называется законом Планка или, на всякий случай, законом излучения Планка. Ничего сверх этого про излучение черного тела с тех пор придумывать не потребовалось. Так называемая цветовая температура вашего монитора – это та температура, при которой распределение интенсивности по длинам волн для вашего устройства ближе всего к распределению интенсивности абсолютно черного тела, которое описывается формулой Планка. И именно закон излучения Планка позволяет приписать температуру черной дыре.

После удачи, сопутствовавшей Планку с «умным угадыванием», можно было бы, наверное, счесть дело сделанным – и многие, вероятно, остановились бы в своих исследованиях данного предмета, коль скоро получен такой прекрасный, законченный результат. Но он не был законченным для Планка. Со свойственной ему концентрацией на первопринципах Планк нуждался в оправдании своих собственных волюнтаристских действий (изменения уравнения) исходя из каких-то фундаментальных механизмов. Он продолжал обдумывать угаданную им зависимость энтропии от энергии. Именно Планк впервые записал формулу для больцмановской энтропии в том виде, который теперь высечен в камне, и теперь он же обратился к этой формуле, чтобы узнать, сколько имеется реализаций, при которых система «излучение + вещество» в равновесии производит одну и ту же наблюдаемую картину излучения. Случившееся далее выросло из безобидного технического момента, который и нам уже несколько раз встречался. Нельзя считать состоянием буквально каждое значение частоты, потому что такие состояния невозможно сосчитать, как невозможно сосчитать точки на отрезке линии. Когда мы измеряем длину отрезка, мы выражаем ее не в количестве точек, а в количестве делений, нанесенных на линейку. Аналогичным образом требовалось ввести какие-то «деления» на шкале энергии. Собственно говоря, так действовал и Больцман, обсуждая связь энтропии и числа реализаций макроскопической картины. В той постановке задачи Больцмана интересовал выбор ячеек – «нанесение делений» – на шкале энергий; он не видел никакого предустановленного выбора для размера ячеек (интервала между делениями), и еще в 1877 г. ему пришлось сказать, что конкретный размер не имеет большого значения. Если другой исследователь выберет размеры ячеек как-то иначе, то с энтропией произойдет не самое страшное: ко всем ее значениям просто прибавится одно и то же число – а это не слишком большая беда, потому что не влияет на разницу энтропий («стало минус было»), которая в основном всех и интересует. В любом случае способа избежать этой неоднозначности у Больцмана не было, поскольку никто еще не знал, что во Вселенной определены ячейки специального размера.

Планк чрезвычайно удачно «нанес деления» на шкалу энергий – что вообще-то было еще одним элементом угадывания. В отличие от делений на линейке, расстояния оказались не одинаковы. Их размер возрастает вместе с частотой: для частоты вдвое выше размер в два раза больше: (интервал энергии) = (постоянная) · (частота). Входящую сюда постоянную Планк решил считать вообще ни от чего не зависящей. Значение ее надлежало определить из эксперимента. Оказалось, что оно «малое»: содержит множитель 10–34, если пользоваться метрами, килограммами и секундами (и чуть менее огорчительные 10–27, если пользоваться сантиметрами, граммами и секундами): h = 6,62607015 × 10–34 кг · м2/с. Ничего не подозревающий автор закона излучения думал об этой постоянной всего лишь как об инструменте для подсчета числа реализаций, нужного для вычисления энтропии. Сейчас (и уже давно) она называется постоянной Планка или (несколько реже) квантом действия h, но в декабре 1900 г., когда Планк решил учитывать энергию порциями величиной h · (частота), никто еще букву h так не называл.

Превратив с помощью буквы h выражение для энтропии в выражение для числа реализаций, Планк углядел в нем неожиданное и ранее не встречавшееся – черты комбинаторной задачи. Комбинаторные задачи имеют дело с числом способов создать какие-то конфигурации – например, разложить заданное число предметов по некоторому числу ящиков. Если сами предметы различать между собой не