Всё, что движется. Прогулки по беспокойной Вселенной от космических орбит до квантовых полей - Алексей Михайлович Семихатов

нужно, то, скажем, два предмета можно распределить по двум ящикам тремя способами два предмета по трем ящикам – уже шестью; три по пяти – тридцатью пятью; еще один пример приведен на рис. 9.13. Обсуждаемое число способов сравнительно невелико при малом или даже умеренном числе предметов или ящиков, но оказывается необычайно большим, когда много и предметов для раскладывания, и ящиков.

Рис. 9.13. Четыре неразличимых предмета можно разложить по трем ящикам пятнадцатью различными способами

Вместо «предметов» перед глазами Планка оказались порции энергии величиной h · (частота), а вместо ящиков – колебательные системы (колеблющиеся заряды), служащие источниками излучения в веществе. За довольно впечатляющий срок (около двух месяцев напряженной работы) Планк извлек из своей волюнтаристской формулы указание, что колебательные системы могут обладать не любой энергией, а только сложенной из некоторого числа порций. Полную энергию, другими словами, следовало разбить на порции указанного размера и далее обращаться с порциями как с предметами: раздавать их по колебательным системам так, как будто предметы распределяются по ящикам. Полное число реализаций одной и той же картины (излучение на заданной частоте, обусловленное температурой вещества) оказалось в точности равным числу способов распихать порции энергии по колебательным системам, как по ящикам. Число реализаций отправляется далее в формулу Больцмана для энтропии, а из знания энтропии выводится условие равновесия, что и дает закон излучения, превосходно описывающий реальный мир.

Безоговорочный успех – полное и точное согласие с опытом – закона излучения, опирающегося на формулу Планка для энтропии, придавал легитимность постулатам, на основе которых он этот закон получил. Собственно говоря, к известным первопринципам надо было добавить только неизвестно откуда взявшийся учет энергии порциями специального размера h · (частота). Правда, предлагаемое предписание по обращению с энергией было не похоже ни на что известное, коль скоро энергия, согласно опыту, представляет собой величину непрерывную; и порции почему-то следовало брать разного размера для колебательных систем с разными частотами – но тогда все и сходилось! Планк чрезвычайно прозорливо усмотрел в своей формуле скрытую комбинаторную задачу, но считал всю «порционную» идею лишь техническим приемом, а не разрывом с известным знанием – чем она была на самом деле.

Ниоткуда не следовавший постулат о порциях оказался самым фундаментальным законом, открытым Планком. Среди прочего он привел к радикальным изменениям представлений о движении.

*****

Квант действия. Постоянная Планка h оказалась входным билетом в описание мира, где многое – и в первую очередь, пожалуй, движение – устроено не так, как мы привыкли. Она – одна из Мировых постоянных нашей Вселенной (в том же клубе – скорость света c и постоянная гравитационного взаимодействия G), и ее появление в любом выражении – неоспоримое указание на его «квантовую природу». Мы достаточно подробно обсудим, что это значит, на следующих прогулках, а пока можно думать, что «квантовый» означает устройство вещей, в ряде случаев предполагающее наличие некоторых «порций» или «ячеек» – во всяком случае, слово «квант» было первоначально выбрано для указания на некоторое отмеренное количество чего-либо[193]. Самому Планку его постоянная требовалась для введения дискретных «делений» на шкале энергии. Насколько такая дискретность соответствовала природе вещей, а не была вычислительным приемом, выяснилось не сразу; на современников закон Планка слишком большого впечатления поначалу не произвел. В 1905 г. Эйнштейн предложил объяснение происходящего в совсем другой ситуации, постулировав, что свет поглощается только порциями энергии и каждая такая порция буквально равна выражению h · (частота); это относилось уже не к упаковке каких-то значений энергии в «ячейки», как вроде бы было у Планка, а к свойствам света: при заданной частоте не бывает порций света меньшего размера. Впоследствии (1921) эта идея Эйнштейна была удостоена Нобелевской премии, но в 1900-х гг. события развивались еще неспешно. Для самого Планка осознание истинного смысла достигнутого – принципиального разрыва между описаниями мира без буквы h и с ней – заняло без малого десять лет (понадобилось влияние Лоренца, Эренфеста и других, а также вклад Эйнштейна).

Только в 1911-м постоянная h была «наконец» использована для вычисления энтропии газа – использована в качестве предустановленного размера «ячеек», которого не хватало Больцману, чтобы вычислить количество реализаций каждой макроскопической картины и найти абсолютное значение энтропии из формулы, которая теперь сопровождает его навсегда. Впечатляющим образом энтропия, найденная с использованием формулы Больцмана, совпала с экспериментально определенным значением, если в качестве фиксированного «размера» использовалась именно постоянная h; правда, это были ячейки не для энергии. Точное выражение для энтропии (результат вычисления «числа ячеек» и применения формулы Больцмана) носит имена своих первооткрывателей Тетроде и Саккура[194]; эксперимент по его проверке, который оказался осуществимым для паров ртути, потребовал и остроумия, и использования ранее полученных данных о нескольких других величинах. Установленное совпадение свидетельствовало о нескольких фактах сразу: формула Больцмана работает, а абсолютно точной делается тогда, когда отдельные состояния каждого движущегося атома/молекулы – это ячейки фиксированного размера h. Но только где или в чем эти ячейки?

Ячейки, которые отмеряет буква h, – это площади некоторых «площадок», но не в обычном пространстве, а в воображаемом, однако напрямую связанном с движением. Состояние каждого атома или молекулы – это три координаты и три компоненты количества движения; они сами собой разбиваются на пары: координата вдоль выбранного направления 1 и количество движения вдоль того же направления 1; аналогично координата вдоль направления 2 и количество движения вдоль того же направления 2; и разумеется, то же для направления 3 (рис. 9.14 слева). Возьмем для начала пару, отвечающую направлению 1, и представим эту пару чисел графически – точкой на воображаемой плоскости, как показано на рис. 9.14 справа. На этой плоскости проведены две оси: горизонтальная отображает координату 1 из обычного пространства, а вертикальная – количество движения вдоль того же направления 1. Когда мы точно так же поступим с координатами атома и компонентами его количества движения вдоль направлений 2 и 3, получится три воображаемые плоскости. Будем временно называть каждую из них Плоскостью действия. На рис. 9.14 изображена только одна из них, отвечающая направлению 1, и на ней мы и сконцентрируемся (с двумя другими все совершенно аналогично). Постоянная Планка h – это предустановленная площадь, определяющая размер «ячеек» на Плоскости действия. Этими ячейками могут быть прямоугольники любых пропорций, но фиксированной площади, как показано на рис. 9.15. Всю область на Плоскости действия, которая в принципе доступна данной частице (положение вдоль оси 1