Приключения Алисы в Стране Головоломок - Рэймонд М. Смаллиан

Вопрос пятый. Предположим, зазеркальный логик считает, что Черный Король и Черная Королева оба спят. Следует ли из этого, что он считает, что Черный Король спит?

— Я бы сказала, что должно следовать, — ответила Алиса.

— Нет, не следует! — отрезал Шалтай-Болтай. — Вот попробуй еще вопрос.

Вопрос шестой. Предположим, зазеркальный логик считает, что Черный Король и Черная Королева либо оба спят, либо оба бодрствуют. Следует ли отсюда, что он считает, что один из них спит, а другой бодрствует?

— Разумеется, нет! — сказала Алиса.

— Разумеется, да! — сказал Шалтай-Болтай, — но почему, я объясню тебе чуть позже. А пока попробуй ответить на такой вопрос.

Вопрос седьмой. Предположим, зазеркальный логик считает, что Льва в лесу нет, если только с ним нет Единорога. Считает ли он, что Лев в лесу, или же он так не считает?

— Понятия не имею, как можно ответить на этот вопрос! — ответила Алиса.

— Еще бы, — ответил Шалтай-Болтай довольно пренебрежительно, — ведь у тебя пока нет ключа! Тогда попробуй вот это.

Вопрос восьмой. Предположим, зазеркальный логик считает, что Бармаглот сделал по меньшей мере одно правдивое заявление в своей жизни. Следует ли из этого, что он убежден в истинности каждого заявления, когда-либо сделанного Бармаглотом?

— Нет, с чего бы? — ответила Алиса. — Это было бы очень глупо с его стороны!

— И тем не менее, именно так он и считает, — авторитетно заявил Шалтай-Болтай. — Однако хватит тебе подсказывать! Посмотрим, сумеешь ли ты справиться вот с этим.

Вопрос девятый. Предположим, зазеркальный логик считает, что у всех грифонов есть крылья. Следует ли из этого, что грифоны существуют?

— Вы меня совсем запутали! — в отчаянии вскричала Алиса. — Я ничегошеньки не понимаю в этой вашей зазеркальной логике!

— Тогда попробуй ответить на такой вопрос, — как ни в чем ни бывало продолжал Шалтай-Болтай.

Вопрос десятый. Предположим, зазеркальный логик считает, что Алиса не дойдет до восьмой клетки, не став Королевой. Допустим, он также убежден, что Алиса дойдет до восьмой клетки. Считает ли он, что Алиса станет Королевой, или он так не считает?

— Надеюсь, считает, — предположила Алиса, — или нет?

— Вообще-то, — рассмеялся Шалтай-Болтай, — нечестно с моей стороны было задавать тебе последний вопрос, так что можешь не трудиться, все равно не ответишь.

— А остальные честно было задавать? — спросила Алиса.

— Абсолютно, — ответил он. — Все остальные вопросы были абсолютно справедливыми.

— Мне они все кажутся одинаково непонятными! — сказала Алиса, — и я все равно не понимаю эту зазеркальную логику!

Если и вы, мой читатель, подобно Алисе, находитесь в некоторой растерянности по поводу зазеркальной логики, вряд ли вас можно в этом упрекнуть! И все же ключ ко всей этой загадке почти смехотворно прост. В этот раз я не буду приводить ответы к этим головоломкам в конце книжки, а вместо этого включу их в диалог между Шалтаем-Болтаем и Алисой.

— Итак, — объявил Шалтай-Болтай, — хватить болтать, пора приступать к выведению ключа!

— Но я даже не представляю, с чего начать!

— Подумай вот о чем, — предложил Шалтай-Болтай. — Может ли зазеркальный логик быть убежден в истинном суждении?

— Почему нет? — спросила Алиса.

— А ты помнишь, что я доказывал тебе ранее? Когда зазеркальный логик в чем-то убежден, то он одновременно убежден в том, что он в этом не убежден.

— Да-а, — неуверенно протянула Алиса, — но я уже подзабыла это доказательство. Не могли бы вы напомнить?

— Без проблем, — ответил он. — Возьмем любое суждение, в истинности которого зазеркальный логик убежден. Поскольку он убежден в истинности этого суждения, он будет его утверждать (согласно первому условию), следовательно, он также будет утверждать, что не убежден в его истинности (согласно второму условию), следовательно, он убежден в том, что он в нем не убежден (согласно первому условию).

— Да, да, — закивала Алиса, — теперь я вспомнила!

— Чтобы больше не забывать, запиши эту мысль в свой блокнот и обозначь ее как Утверждение 1.

Алиса записала следующее:

«Утверждение 1. Когда зазеркальный логик в чем-то убежден, он также убежден в том, что он в этом не убежден».

— Дальше важно понимать, — продолжал Шалтай-Болтай, — что в отношении любого истинного суждения, зазеркальный логик убежден в том, что он убежден в истинности этого суждения.

— Почему так? — спросила Алиса.

— Это же элементарно! — ответил Шалтай-Болтай. — Возьми любое истинное суждение. Согласно третьему условию, он утверждает, что убежден в истинности этого суждения. Раз он это утверждает, и он честен (первое условие), значит, он убежден в том, что он в нем убежден.

— Понятно, — кивнула Алиса.

— Ты лучше это запиши, и обозначь, как Утверждение 2, — посоветовал Шалтай-Болтай.

И Алиса записала следующее:

«Утверждение 2. В отношении любого истинного суждения, зазеркальный логик убежден в том, что он убежден в истинности этого суждения».

— А теперь, — продолжал Шалтай-Болтай, — ты понимаешь, почему абсолютно невозможно, чтобы зазеркальный логик был убежден в истинности истинного суждения?

— Не очень, — призналась Алиса.

— Это очевидно следует из Утверждения 1, Утверждения 2 и четвертого условия, — ответил он. — Возьми любое суждение, в истинности которого зазеркальный логик убежден. Согласно Утверждению 1, он убежден в том, что он не убежден в истинности этого суждения. При этом он не может одновременно быть убежден в том, что он убежден в ис-

тинности суждения (потому что, согласно четвертому условию, он не может быть убежден в чем-то и одновременно быть убежден в обратном). Так как он не убежден в том, что он в нем убежден, тогда это суждение не может быть истинным, ведь будь оно истинно, тогда, согласно Утверждению 2, он должен был бы быть убежден в том, что он убежден в истинности этого суждения. Но он не убежден в том, что он в нем убежден — и поэтому оно не может быть истинным. Таким образом, мы видим, что зазеркальный логик никогда не бывает убежден ни в одном истинном суждении; все суждения, в которых зазеркальный логик убежден — ложны.

Алисе понадобилось определенное время, чтобы усвоить сказанное.

— Это довольно сложное доказательство! — заметила она, наконец.

— Ничего, скоро освоишься! Алиса снова задумалась.