Приключения Алисы в Стране Головоломок - Рэймонд М. Смаллиан

— А скажите мне вот что, — попросила она. — Зазеркальный логик должен быть убежден во всех ложных суждениях? Или же он просто убежден только в ложных суждениях?

— Это хороший вопрос, девочка, — ответил Шалтай-Болтай, — и ответ на него — «да». Возьми любое ложное суждение. Согласно пятому условию, он убежден либо в истинности этого суждения, либо в истинности противоположного ему суждения. Но он не может быть убежден в противоположном суждении, потому что противоположное суждение истинно! Соответственно, он убежден в истинности ложного суждения.

— Невероятно! — воскликнула Алиса. — Значит, зазеркальный логик убежден в истинности всех ложных суждений и не верит ни одному истинному суждению!

— Точно, — подтвердил Шалтай-Болтай, — и в этом вся прелесть!

— Еще один интересный момент, — добавил Шалтай-Болтай, — заключается в том, что любой, кто верит всем ложным суждениям и не верит ни одному истинному суждению и кто честно высказывает свои убеждения — любой такой человек должен соответствовать пяти основным условиям, характеризующим зазеркального логика.

— Это почему же? — спросила Алиса.

— О, это очень просто доказать! — ответил Шалтай-Болтай. — Предположим, человек абсолютно честен и одновременно убежден в истинности тех, и исключительно тех суждений, которые ложны. Поскольку он честен, то разумеется он отвечает первому условию. Что касается второго условия, предположим, он утверждает, что суждение истинно. Тогда он действительно убежден в истинности этого суждения (ведь он честен). Следовательно, ложно то, что он не убежден в истинности суждения. Но ведь он убежден во всем, что ложно — и даже в ложных суждениях о его собственных убеждениях! Стало быть, если ложно то, что он не убежден в истинности суждения, и если он убежден во всем, что ложно, тогда он должен быть убежден и в ложном факте, что он не убежден в истинности суждения — другими словами, он убежден в том, что он не убежден в истинности суждения. А раз он убежден в том, что он не убежден в истинности суждения, то он утверждает, что он в нем не убежден (потому что, как мы помним, он честен). Именно поэтому он удовлетворяет второму условию.

Что касается третьего условия, возьмем любое истинное суждение. Раз оно истинно, он не может быть убежден в его истинности. Раз он не убежден в его истинности, значит, он должен считать, что он убежден в его истинности (потому что все его убеждения ошибочны!). Далее, раз он считает, что он в нем убежден, то он должен это утверждать (опять же, потому что он честен). Это и доказывает то, что он отвечает третьему условию.

Ну, четвертое и пятое условия очевидны, — продолжал Шалтай-Болтай.— Рассмотрим любое суждение и противоположное ему суждение. Одно из них должно быть истинно, другое, соответственно, должно быть ложно. Естественно, он убежден в истинности ложного суждения и не убежден в истинности истинного суждения. Значит, он не убежден в истинности обоих суждений сразу и таким образом удовлетворяет четвертому условию, но убежден по крайней мере в одном из них и поэтому отвечает пятому условию.

— Вот и вся история, — подвел итог Шалтай-Болтай, — зазеркальный логик честен, просто он всегда заблуждается. И наоборот, любой, кто честен и постоянно заблуждается, отвечает всем пяти характеристикам зазеркального логика. Теперь ключ у тебя в руках.

— Кое-что мне все еще непонятно, — сказала Алиса. — Почему никогда не случается так, чтобы зазеркальный логик что-то утверждал, а потом утверждал что-то этому обратное, и при этом сплошь и рядом случается, что он объявляет какое-то суждение и обратное ему суждение истинными?

— Это проще простого, — ответил Шалтай-Болтай. — Возьмем, к примеру, утверждение, что Черный Король спит. Обратным ему утверждением было бы утверждение о том, что Черный Король бодрствует. Очевидно, что одно из этих утверждений истинно, а другое ложно. Зазеркальный логик убежден лишь в одном из них, которое ложно, следовательно, он не может быть убежден в истинности каждого из них по отдельности. При этом единое утверждение о том, что Черный Король одновременно спит и бодрствует, является ложным утверждением, следовательно, зазеркальный логик должен быть убежден в истинности этого ложного утверждения.

Вернемся теперь к моим десяти вопросам. Обладая ключом, ответить на них не составит особого труда.

Вот ответы, которые Шалтай-Болтай дал на свои десять вопросов.

1. Раз зазеркальный логик считает, что Черный Король спит, значит, Черный Король должен на самом деле бодрствовать. Раз он бодрствует, то Алиса ему не снится. Раз Алиса Королю не снится, значит, зазеркальный логик должен считать, что снится.

2. Раз он (зазеркальный логик) считает, что либо Черный Король, либо Черная Королева спит, то на самом деле ни Черный Король, ни Черная Королева не спят. Значит, оба они бодрствуют. Раз Черная Королева бодрствует, то он должен считать, что она спит (по тому же принципу он должен считать, что Черный Король спит).

3. Зазеркальный логик полагает, что Черный Король спит. Это лишь означает, что Черный Король бодрствует, но ничего нам не говорит о том, спит ли Черная Королева, поэтому мы не можем знать, считает ли зазеркальный логик, что она спит.

4. А вот здесь совсем другая история! Поскольку он полагает, что Черный Король спит, значит, это неправда, что он спит. Следовательно, заведомо ложно то, что Черный Король и Черная Королева оба спят! Именно поэтому он должен быть убежден, что они оба спят.

Любопытно здесь то, что он вовсе необязательно должен считать, что Черная Королева спит, однако он действительно убежден, что Черный Король и Черная Королева оба спят!

5. Зазеркальный логик полагает, что Черный Король и Черная Королева оба спят, из чего следует лишь, что по меньшей мере один из них бодрствует. Мы не знаем, кто именно, поэтому мы не можем определить, считает ли зазеркальный логик, что Король спит.

6. Поскольку зазеркальный логик считает, что Черный Король и Черная Королева либо оба спят, либо оба бодрствуют, то ложно и то, что они оба спят, и то, что они оба бодрствуют. Что означает, что один из них спит, а второй бодрствует. Того из них, кто спит, он считает бодрствующим, а того, кто бодрствует — спящим.

7. Раз все убеждения зазеркального логика ложны, то на самом деле Лев должен быть в лесу без Единорога. Следовательно, Лев находится в лесу. Значит, зазеркальный логик должен считать, что Льва в лесу нет.

8. Раз убеждение зазеркального логика заведомо ложно (как и все его суждения), то Бармаглот ни разу в своей жизни не делал правдивых заявлений; все заявления, когда-либо высказанные Бармаглотом, ложны. Именно поэтому зазеркальный логик должен верить каждому из них!

9. Поскольку зазеркальный логик полагает, что у всех грифонов есть крылья, значит, неверно, что у всех грифонов есть крылья, что означает, что должен быть хотя бы один грифон без крыльев. Таким образом, должен существовать хотя бы один грифон.

10. Это вопрос-ловушка, потому что невозможно, чтобы зазеркальный логик мог быть убежден в обоих этих суждениях!