Геометрия скорби. Размышления о математике, об утрате близких и о жизни - Майкл Фрейм

ничтожество, хотя Бенуа и его жена Алиетт всегда были неизменно добры ко мне и к моей Джин. Но в итоге я признал – для того, чтобы заниматься геометрией, мне необязательно владеть ею на том же уровне, что и Бенуа. У каждого из нас разные способности. Развивайте свои.

В следующей главе мы рассмотрим подход к моему третьему аспекту, калибровке, основанной на выборе масштаба. А пока я дам вам простой пример обычного выбора шкалы. На рисунке с предыдущей страницы вертикальная ось, обозначенная как «игры Скраффи», отражает удовольствие, которое я испытываю, глядя на хитроумные проделки Скраффи. Ось, обозначенная как «игры других котов», отражает удовольствие, которое я испытываю, глядя на изобретательные игры других котов. В подпространстве плоскости «игры Скраффи»-время t в моей траектории образовался большой разрыв, когда Скраффи умер. После его смерти ощущение радости не упало до нуля, поскольку воспоминания всё же доставляют некоторое удовольствие.

В подпространстве «игры других котов»-время t мое чувство радости остается неизменным, не столь сильным, как удовольствие от наблюдения за играми Скраффи, но несомненно более сильным, чем от моих воспоминаний о проделках Скраффи. Заштрихованная плоскость – это подпространство, где я иногда думаю об играх других котов, а иногда вспоминаю об играх Скраффи. Следовательно, падение настроения после смерти Скраффи здесь не такое значительное, как было в подпространстве «игры Скраффи»-время[122].

Точная калибровка может оказаться трудной задачей. Нужно придумать, как сравнить величину моей радости от наблюдения за Скраффи и другими котами. В любом случае практическое применение требует каким-то образом определить эти шкалы. Можно просто подменить шкалу подсчетом относительного количества раз, когда я вспоминал игры Скраффи, и количества раз, когда я наблюдал за играми других котов. Следует подчеркнуть, что наблюдение за другими котами не отвлекает меня от воспоминаний о Скраффи, а, наоборот, напоминает о нем, поскольку некоторые его повадки свойственны и другим котам. Но я не хочу забывать Скраффи, поэтому стараюсь, чтобы время, когда я вспоминаю о Скраффи, не было слишком мало по сравнению со временем, когда я наблюдаю за игрой других котов. При таком мысленном подходе калибровка происходит сама собой.

Чтобы применить эти идеи к более сложным отношениям, к людям, которых мы потеряли, потребуется гораздо более сложный подход. Здесь приведен лишь простой пример того, как работает калибровка.

Я использовал геометрию, потому что хорошо ее знаю, за шесть десятков лет она прочно впечаталась в мое сознание. Поэтому игра различными геометрическими формами легла в основу подхода, который поможет вам найти свои комбинации ощущений. Вы можете достичь той же цели и иными путями. Возможно, ваше восприятие мира более слуховое или тактильное. Или вашу жизнь постоянно сопровождают отрывки мелодий. Тогда музыка может помочь вам найти то, что соответствует моим проекциям.

Или литература, или кино, или шахматы, или кулинария, или танцы, или бесконечное времяпрепровождение в компании котиков. Всё, что важно для вас, может навести на ту проекцию, которая уменьшит вашу скорбь. Однако это сработает, только если у вас есть настоящая страсть к своему делу. Вы можете найти способы, которые я даже не могу представить, чтобы открыть для себя комбинации ощущений, позволяющие уменьшить остроту скорби.

5. Фрактал

Один день – это лаборатория жизни.

Мы уже рассмотрели самоподобие некоторых фигур, в частности треугольника Серпинского. Правильный равнобедренный треугольник, изображенный вверху следующей страницы, состоит из трех частей – нижней левой, нижней правой и верхней левой, – каждая из которых является копией целого треугольника, уменьшенной в масштабе 1/2. Таким образом запускается процесс, который можно продолжать до бесконечности: каждая из трех частей будет состоять из трех меньших частей, из которых каждая, в свою очередь, будет состоять из трех еще меньших частей и так далее. Фигуры, обладающие таким типом симметрии – симметрии кратного увеличения, – были известны художникам и создавались ими на протяжении по меньшей мере тысячи лет.

Более естественные фракталы можно получить с помощью процесса декалькомании (см. изображение внизу слева на следующей странице). Краска сплющивается между двумя поверхностями; когда поверхности разворачиваются, меж них проникает воздух и создает замысловатые разветвляющиеся узоры. Эта техника известна уже как минимум несколько столетий, но наибольшее распространение получила лишь в начале XX века, в частности в работах Макса Эрнста, Оскара Домингеса, Бориса Марго и Ханса Беллмера. Сложные разветвления придавали их картинам сюрреалистический, сновиденческий характер.

Природа изобилует естественными фракталами. Облака, горные хребты, береговые линии, речные системы – все они лишены натурального масштаба. Не имея иных ориентиров, невозможно сказать, видите ли вы перед собой, например, маленькое облако вблизи или большое вдали. Подобные структуры встречаются на многих уровнях. На нижнем фото слева мы не видим масштаба, а на втором фото зажимы выдают размеры устройства: мы вырастили фрактальный дендрит, пропустив слабый электрический ток через раствор сульфата цинка.

Фракталы встречаются и в литературе. Например, Жозе Сарамаго так определяет геометрию кладбища, описанного в его романе «Книга имен»:

Был в моей жизни момент, когда я, сам того не замечая, оказался глубоко погружен в такую таинственную область, как фрактальная геометрия, о которой, уж простите мое невежество, до той поры совсем ничего не знал[123].

Сарамаго описывает расположение надгробий в виде разветвленного дерева: самые старые могилы ближе к стволу, наиболее новые – на концах ветвей. В 1999 году испанский математик Хуан Мануэль Гарсия-Руис обратил внимание Сарамаго на фрактальную геометрию этого кладбища. И действительно, фрактальная геометрия – это огромная научная область[124].

Мы приводим данные примеры, чтобы показать широкую палитру фрактальности, и чтобы вы, глядя на (неизбежно неправильные по форме) природные фракталы, не говорили: «Постойте, но это совсем не похоже на треугольник Серпинского». Мы ищем мотивы, которые приблизительно повторяются при изменении масштаба в пространстве, во времени или в каких-то более абстрактных координатах.

Вот вам примеры подобных структур в масштабах времени:

Возьмем день. Вы просыпаетесь засветло, думаете о предстоящих делах. Утром вы уже вовсю трудитесь; вечером вы заканчиваете работу и мысленно подводите итог сделанному за день. День закончен, вы ложитесь спать.

Возьмем год. Во тьме зимы вы думаете о том, что будете делать в этом году. Весной вы уже вовсю работаете над своим годовым проектом; осенью бо́льшая часть работы выполнена, и вы подводите итог сделанному за год. Наступает зима, год закончен, вы отдыхаете.

Возьмем жизнь. В детстве и юности мы осваиваем навыки для работы в будущем. В молодости вы вовсю включаетесь в работу; в старости выходите на пенсию