Число, пришедшее с холода. Когда математика становится приключением - Рудольф Ташнер

Нет, однако, ничего удивительного в том, что другие математики Института перспективных исследований долгое время воздерживались от присвоения Гёделю профессорского звания. Дело было не в том, что они не ценили его труды, — наоборот, ценили, и больше других переехавший в 1933 г. из Гёттингена в Принстон Герман Вейль. Их просто смущали чудачества Гёделя. «Достаточно того, — говорил эмигрировавший из Германии в знак протеста против национал-социализма специалист по теории чисел Карл Людвиг Зигель, — что в Принстоне уже есть один чудак, профессор математики. Двоих институт не выдержит». Под «одним чудаком» Зигель подразумевал самого себя.

Позволительно предположить, что бредовые идеи Гёделя были обусловлены блужданиями в мирах, в существование которых он верил, потому что был убежден в их непротиворечивости. Но на самом деле таких миров не существует. Нет ни одного мира, в котором имеет место бесконечное, как логически мыслимое понятие, пусть даже обманчиво ограниченное аксиомами.

Всемогущество формальной и обставленной произвольными аксиомами математики — это всего лишь безграничная власть над фантасмагориями.

Столкнувшись с альтернативой — заниматься математикой в духе Пуанкаре и уживаться с действительностью, в которой всегда остаются открытыми многие вопросы, как значительные, так и не очень, или заниматься ею как основанной на пустых аксиомах игрой, создающей иллюзию всемогущества, подавляющее большинство представителей математической гильдии выбрало второй путь, путь мятежа против действительности. Ибо, как сформулировал это кредо Гильберт, «никто не сможет изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором». Естественно, не сможет, если учесть, что этот рай — замок привидений, по которому носятся призраки.

В следующем смысле, это в высшей степени своеобразный и единственный в своем роде выбор: представьте себе, что нам удалось установить радиоконтакт с внеземными разумными существами, живущими в глубинах космоса на далеких планетных системах. Очевидно, что общение между «нами» и «ими» может осуществляться лишь по математическим законам, ибо они, и только они, одинаковы во всей Вселенной. По поводу этого допущения существует пари. Если инопланетяне добились в познании математики таких же успехов, как мы, то несомненно, что их взгляд на бесконечное соответствует интуитивным представлениям Пуанкаре, а не логическим абстракциям Гильберта.

При верном взгляде на бесконечное мы приходим к следующему: тот, кто мыслит математику в духе Пуанкаре, тот, кто отдает интуиции, прозрению, незамутненному взгляду на сущность вещей предпочтение перед логикой, должен исходить из того, что нигде в мире не существует бесконечного. Ни в гостиницах, ни в автобусах, ни на остановках, ни в гардеробе.

Нет бесконечного и на просторах космоса, ибо нас окружает конечный горизонт событий, и в то, что находится за ним, невозможно проникнуть с помощью любых сигналов. То, что находится по ту сторону горизонта событий, скрыто от нас навсегда, и бессмысленно резонерствовать по поводу существования какого-то мира за пределами этого горизонта. Нет бесконечного и в мельчайших величинах, ибо квантовая физика не признает идею о членении линии на бесконечное число точек. Собственно, и компьютер не знает ничего бесконечного, и даже интернет. Любая компьютерная процедура предусматривает конечное число шагов, после чего программа обрывается. Даже в том случае, если программа замыкается в петлю, когда-нибудь отключится ток, и программа все равно перестанет работать. Прибор обладает лишь ограниченным набором полей чисел. Экран ограничен конечным числом пикселей, то есть имеет конечное разрешение. Только в мышлении, только в воображении существует бесконечное. Причем существует не как нечто наличное, а как идея бесконечной, никогда не кончающейся возможности.

Иногда в сновидениях люди пытаются достать какой-либо маленький предмет, но рука всегда оказывается для этого слишком короткой. Мы напрягаемся, наклоняемся все ниже, но нам все равно не удается схватить вожделенный предмет; все глубже становится стремление, все более отчаянными усилия, все ближе и ближе предмет… И так продолжается до пробуждения. Специалисты утверждают, что длительность сновидений не превышает двух секунд, но для спящего человека они кажутся нескончаемыми.

На фреске Микеланджело «Сотворение мира» в Сикстинской капелле хорошо видно это неудовлетворенное стремление, это вечное желание дотянуться друг до друга, бесконечное томление, переданное расстоянием, разделяющим указательный палец правой руки всемогущего Творца и указательный палец левой руки Адама. Казалось бы, одно крошечное движение, и человек достигнет заветной цели, но… Но мысль Микеланджело заключается в том, что мы будем бесконечно долго ждать спасительного для человека движения по эту сторону бытия.

В моменты счастья люди страстно желают, чтобы оно никогда, никогда не заканчивалось. В такие моменты пробуждается надежда, что подаренная нам любовь продлится вечно. И, несмотря на то что отрезвление неизбежно, как «аминь» в молитве, это детское стремление к нескончаемому счастью не покидает нас. «Weh spricht: Vergeh! — немного плаксиво декламирует Ницше. — Doch alle Lust will Ewigkeit, will tiefe, tiefe Ewigkeit»(19).

Это хорошо показано в некоторых рассказах Кафки, а особенно трогательно в «Императорском послании», которое повествует о том, как гонец распростертого на смертном одре императора спешит с посланием умирающего к «тебе единственному, ничтожнейшему из подданных, неверной тени, убегающей в дальнюю даль от сиятельных лучей его императорского солнца»(20). Сначала гонец должен преодолеть дворцы, лестницы и дворы — бесчисленное множество следующих друг за другом дворцов, лестниц и дворов императорской резиденции. Но они суть отражение счетного бесконечного множества, ибо Кафка дает нам остро почувствовать, что, как ни пытается гонец преодолеть эти нескончаемые ряды, никогда не сможет он преодолеть их все. Но даже если б «вырвался он из последних ворот — однако никогда, никогда этому не бывать, — перед ним все еще была бы столица, середина мира, до поднебесья воздетая насыпь. И не пробиться туда никому, а тем паче какому-то гонцу мертвеца», — слышим мы рассказ Кафки и представляем себе огромный хаотичный город, подобный несчетной бесконечности.

«А ты все сидишь у окошка своего, предаваясь воображению, в то время как наступает вечер», — заканчивает Кафка свой рассказ об императорском послании. Означает ли это, что с бесконечным мы можем столкнуться хотя бы в сновидениях, чувствах и догадках?

Но как быть с нашими рассуждениями, с возможностями нашего разума? Здесь требуется математика. Числа 1, 2, 3, … — это ступеньки лестницы, ведущей в бесконечность, и одновременно строительные блоки мышления. Только с помощью нашего мышления карабкаемся мы вверх по этой лестнице. Но само бесконечное — это не число. Это тыл чисел, их основание, без которого немыслимы и сами числа. Поэтому лучший ответ на вопрос о том, что такое математика, дает Герман Вейль: