Ритм вселенной. Как из хаоса возникает порядок - Стивен Строгац

Таким образом, характерные особенности хаоса таковы: бессистемное и случайное, на первый взгляд, поведение системы, которая во всех остальных отношениях является детерминированной; предсказуемость на коротком отрезке времени вследствие действия детерминистских законов; и непредсказуемость на продолжительном отрезке времени вследствие действия упоминавшегося выше «эффекта бабочки».

Феномен хаоса порождает ряд философских вопросов, которые могут поставить в тупик человека, не привыкшего задумываться над ними. Например, некоторые из моих студентов слишком легкомысленно относятся к «эффекту бабочки», считая его очевидным и не заслуживающим особого внимания. Всем нам известно, что даже какая-нибудь «мелочь» способна оказать огромное влияние на всю нашу жизнь и даже на жизнь целой страны. Учитывая огромную сложность мира, в котором мы живем, и огромное количество переменных (о существовании многих из которых мы даже не подозреваем, а если даже нам известно об их существовании, то далеко не всегда мы оказываемся в состоянии правильно оценить их влияние), которые оказывают влияние на нашу жизнь, неудивительно, что даже малозначительные, на первый взгляд, события подчас бывают способны инициировать совершенно непропорциональные по своим масштабам цепные реакции. Вспомните старое стихотворение о разбитой армии.

Однако до появления теории хаоса лишь очень немногие из нас понимали, что подобные каскады событий могут влиять даже на простейшие системы: водяные колеса и кувыркающиеся планеты, протекающие водопроводные вентили и механические системы, для которых известны все законы и которые характеризуются буквально несколькими переменными. Однако даже в таких простых системах скрываются зачатки хаоса; они еще не успели проявить себя, однако готовы в любой момент сделать это и преподнести нам немало сюрпризов.

Еще один нюанс: в хаосе любая точка является точкой нестабильности. Это даже хуже, чем затруднительное положение, в котором оказался путешественник в стихотворении Роберта Фроста «Другая дорога»; жизнь, которая подчиняется законам хаоса, еще более непредсказуема[187]. Каждый момент такой жизни является моментом истины. Каждое принимаемое решение имело бы долговременные последствия, которые изменяли бы вашу жизнь до неузнаваемости. Застегните пуговицы своей рубашки не сверху вниз, а снизу вверх – и вы даже не представляете, насколько по-другому может сложиться ваша жизнь через несколько лет. (Это вовсе не преувеличение. Дело в том, что в своей повседневной жизни мы привыкли двигаться по определенным траекториям; между тем мы не имеем ни малейшего представления о том, как сложится наша судьба, если мы начнем двигаться по непривычным для себя траекториям. Но чтобы не повредиться рассудком, человек вынужден исходить из того, что любые мелкие нестандартные решения, принимаемые им, не повлекут за собой сколь-нибудь существенных последствий для него. Эта дилемма была исследована в фильме «Осторожно! Двери закрываются» (Sliding doors). В этом фильме представлены две принципиально разные версии жизни одной женщины в зависимости от того, успела ли она заскочить в вагон метро, перед тем как закрылись его двери.)

В отличие от хаотических систем, ритмические системы не демонстрируют столь высокой чувствительности к слабым возмущениям. Щелкните пальцем по метроному – и он на мгновение остановится, а затем возобновит свои неумолимые тик-так. Он, конечно, собьется с первоначального ритма, но образовавшееся отклонение не будет нарастать с течением времени. Этот феномен можно представить более отчетливо, если мы вообразим два идентичных метронома, которые поначалу работали синхронно. Ударьте слегка пальцем один из них; после того как он возобновит ход, он начнет отставать от другого метронома на некий фиксированный интервал времени, причем это отставание не будет нарастать с течением времени. Вообще говоря, если слегка воздействовать на какую-либо нехаотическую систему, то это воздействие либо совсем не будет нарастать, либо будет нарастать очень умеренно, причем это нарастание будет пропорционально времени, которое прошло с момента воздействия. В таких случаях говорят, что ошибки нарастают во времени не быстрее, чем по линейному закону.

Важным моментом здесь является количественный момент. Линейный рост ошибок предполагает, что нехаотические системы ведут себя предсказуемо, по крайней мере в принципе. Приливы и отливы, возвращение кометы Галлея, моменты наступления затмений – все эти явления строго ритмичны и, следовательно, предсказуемы, поскольку слабые возмущения не перерастают со временем в большие ошибки прогнозирования. Чтобы предсказать поведение нехаотической системы на вдвое более продолжительном отрезке времени, вы должны в два раза точнее измерить ее начальное состояние. Чтобы ваш прогноз распространялся на отрезок времени, втрое более продолжительный, вы должны измерить начальное состояние системы в три раза точнее. Иными словами, горизонт предсказуемости также увеличивается по линейному закону, то есть прямо пропорционально точности, с которой определяется начальное состояние системы.

Хаотические системы, однако, ведут себя совершенно по-другому. Именно в хаотических системах мы начинаем ощущать по-настоящему деморализующие последствия «эффекта бабочки». Протяженность времени, которое может охватывать более или менее точный прогноз состояния хаотической системы, зависит от трех факторов: допустимой погрешности нашего прогноза, точности измерения исходного состояния хаотической системы и неподконтрольного нам масштаба времени, называемого временем Ляпунова[188][189], которое зависит от динамики, внутренне присущей самой этой системе.

Грубо говоря, наш прогноз может охватывать лишь время, соизмеримое с временем Ляпунова; после этого ошибки измерения истинного исходного состояния разрастаются до такой степени, что превышают допустимый порог погрешности. Снижая используемые стандарты или повышая точность измерения исходного состояния, мы всегда можем охватить своим прогнозом более продолжительные интервалы времени. Однако проблема заключается в жесткой зависимости «горизонта предсказуемости» от точности измерения исходного состояния: если вы хотите увеличить горизонт предсказуемости в два раза, не потеряв при этом в точности, то усилия, которые вам придется затратить для этого, должны возрасти не в два, а в десять раз. Если же вы ставите перед собой еще более амбициозные цели и хотите увеличить горизонт предсказуемости в три раза (при сохранении той же точности), то усилия, которые вам придется затратить для этого, возрастут в сто раз; четырехкратное увеличение горизонта предсказуемости будет стоить вам тысячекратных усилий и т. д. В любой хаотической системе требуемая точность начального измерения возрастает по экспоненциальному, а не линейному закону.