Ритм вселенной. Как из хаоса возникает порядок - Стивен Строгац

Однако самым зловещим и сверхъестественным в этой картине оказывается то, что сами y и z к этому времени уже превратились в порождения стручков. Сами о том не подозревая, они сейчас идеально синхронно танцуют со своими собственными призрачными двойниками y′ и z′, переменными, с которыми они еще никогда не встречались. Каким-то образом, исключительно благодаря влиянию телепортированного x′, была также передана информация об удаленных y′ и z′, причем этой информации оказалось достаточно, чтобы синхронизировать приемник с задатчиком. Теперь оказались «рекрутированными» все три переменные x, y и z. Невидимый задатчик, в полном соответствии со своим названием, «задает тон».

Компьютерное моделирование, выполненное Пекорой, показало, что его схема оказалась работоспособной применительно к уравнениям в компьютере. Теперь вопрос заключался в том, окажется ли его схема работоспособной в лабораторных условиях, то есть в условиях, когда никакие две системы не могут быть совершенно идентичны друг другу и не могут быть полностью ограждены от сторонних возмущений. Пекора рассмотрел вопрос о том, какие хаотические системы оказались бы наиболее управляемыми с экспериментальной точки зрения. Выбор сразу же пал на электронные цепи по причине их высокого быстродействия, дешевизны и удобства выполнения измерений, что позволяло получить значительный объем данных за короткое время. Кэррол согласился с этими доводами и принялся за работу, пытаясь воплотить уравнения Лоренца в электронных устройствах. Почти сразу же он зашел в тупик. Реализация этих уравнений предполагала выполнение операций умножения переменных x, y и z. Для выполнения этих операций электронным способом требовались микрочипы множителей, но Кэррол пришел к выводу, что готовые компоненты, имевшиеся в его распоряжении, не могли обеспечить требуемую точность вычислений. Более серьезная проблема заключалась в том, что в ходе функционирования системы значения переменных в уравнениях Лоренца изменялись в 100 тысяч раз. Столь широкий динамический диапазон превышал возможности типичных устройств питания электронных устройств. Таким образом, Пекора и Кэррол были вынуждены отказаться от идеи создания электронной цепи Лоренца.

Пытаясь найти более подходящую альтернативу, Пекора и Кэррол обратились за помощью к Роберту Ньюкомбу, электроинженеру из Мэрилендского университета, который к тому времени уже разработал свой собственный вариант хаотических цепей. Ньюкомб дал полную волю своему творческому воображению. Он не видел категорической необходимости в том, чтобы разрабатывать цепи, которые моделировали бы лоренцовы водяные колеса, или лазеры, или какую-либо другую физическую систему – его просто интересовал хаос как таковой, и он хотел исследовать хаос электронным способом. Кэррол воспользовался одним из рецептов Ньюкомба и подтвердил, что полученная таким образом электронная цепь генерировала хаотические флуктуации напряжения и тока. Отображаемые на экране осциллографа, эти переменные вырисовывали странный аттрактор – не точно такой же, как крылья бабочки Лоренца, но похожий на него. Скорость работы этой цепи составляла тысячи циклов в секунду; она создавала быстрый и прекрасный хаос.

Теперь можно было приступить к тестированию схемы синхронизации. Кэррол изготовил второй экземпляр своей цепи и подсоединил его к первому экземпляру согласно правилам Пекоры. В соответствии с теорией эти две цепи должны были осциллировать нерегулярно, хаотически, но в идеальном синхронизме между собой. Чтобы протестировать их синхронизм, Кэррол настроил осциллограф на отображение графика зависимости напряжения на приемнике y от его аналога на передатчике – y′. В случае равенства этих двух переменных они должны попадать на диагональ, проходящую под углом 45 градусов (поскольку, если значения y отображаются по горизонтали, а значения y′ – по вертикали, то горизонтальное смещение y должно равняться вертикальному смещению y′ в случае, если их значения всегда равны между собой). А поскольку значения y и y′ все время меняются, от момента к моменту, они должны бегать вдоль диагонали туда и обратно, никогда не отклоняясь от нее.

Кэррол нажал на кнопку, чтобы запустить свою систему. Понадобилось всего две миллисекунды, чтобы оба напряжения оказались на диагонали, после чего они оставались на ней до завершения эксперимента. «У меня становятся дыбом волосы на голове, когда я думаю об этом, – рассказывал мне Пекора. – Вряд ли я еще когда-нибудь в своей жизни переживу подобный момент. Это все равно как присутствовать при рождении своего ребенка».

Декабрь 1991 г. Последний день занятий в МТИ. Только что я закончил чтение последней лекции своего курса по теории хаоса. Все слушатели, за исключением одного аспиранта, покинули аудиторию. Сияя от гордости, он протянул мне лист бумаги, испещренный формулами и теоремами, каждая из которых была обведена аккуратной прямоугольной рамкой. При подготовке к предстоящему выпускному экзамену он умудрился представить весь курс по теории хаоса на единственном листе бумаги. Оценив его каллиграфический почерк, я понял, что имею дело с неординарной личностью. Так оно и было на самом деле: Кевин Куомо оказался одним из лучших аспирантов курса.

Куомо в это время только писал диссертацию. Ее темой было исследование синхронизированного хаоса в электрических цепях и возможность их использования в системах связи. В то время я имел некоторое представление о статье Кэррола и Пекоры, опубликованной в 1990 г., но еще не успел ознакомиться с ней основательно. Куомо хотел поделиться со мной всем, что он думает по поводу этой статьи, и буквально взахлеб рассказывал мне о ней, но затем переключился на собственную работу и предложил мне ознакомиться с цепью, которую он сам сконструировал. Это было первое в мире электронное воплощение уравнений Лоренца. Он также просил меня проверить выполненное им математическое доказательство – демонстрацию новой схемы синхронизации, удовлетворяющей уравнениям Лоренца вне зависимости от способа запуска приемника и передатчика. Куомо на мгновение остановился, а затем продолжил: Пекора и Кэррол не предложили никакого подобного доказательства, и это обстоятельство беспокоит его. Логика предложенного им доказательства не была слишком сложной – лишь стандартное применение функций Ляпунова, подобное тому, которое встречалось у нас на занятиях. Эта простота настораживала его: может быть, он в чем-то ошибается, что-то упустил из виду?

Оказалось, что Куомо ни в чем не ошибся. Предложенное им доказательство было безупречным, а разработанная им цепь действительно моделировала уравнения Лоренца (впоследствии Пекора честно признался в том, что до сих пор не представляет, как Куомо удалось додуматься до такого решения). Однако сейчас Куомо знаменит вовсе не этим. Впоследствии ему и его консультанту Элу Оппенгейму удалось упервые в мире продемонстрировать практическую возможность хаотического шифрования информации: синхронизированный хаос действительно можно использовать для повышения безопасности информации, передаваемой по каналам связи.

Их метод основан на маскировании, то есть применяется та же стратегия, которая используется (безуспешно и незабываемо) скрытной парочкой из фильма Френсиса Форд Копполы «Разговор» (The Conversation). Чувствуя, что за ними ведется слежка, мужчина и женщина бродят по многолюдной городской площади и разговаривают друг с другом шепотом, надеясь, что громкие звуки, издаваемые уличными музыкантами, помешают окружающим подслушать их разговор. В версии Куомо и Оппенгейма фоновый шум создается шипением электрического хаоса, генерируемого переменной x в цепи Лоренца. Прежде чем какое-либо сообщение будет отправлено на приемник, на него налагается x, чтобы замаскировать это сообщение. Для большей надежности x должен быть намного громче самого сообщения (точно так же, как уличная музыка должна быть намного громче разговора шепотом) во всем его диапазоне частот. Разумеется, если приемник не может отделить сообщение от маски, такая система оказывается неработоспособной. Для решения этой проблемы применяется синхронизация. Схема Куомо гарантирует, что приемник, когда на него поступает гибридный сигнал (сообщение плюс маска), синхронизируется с маской, а не с сообщением. В результате приемник регенерирует чистую версию маски. Извлекая ее из гибридного сигнала путем вычитания, мы получаем интересующее нас сообщение. Этот метод обеспечивает безопасность передаваемой информации, поскольку тому, кто попытается перехватить сообщение, будет весьма проблематично выполнить такую же декомпозицию: он не будет знать, что именно нужно вычесть, какая часть комбинированного сигнала является маской, а какая часть – сообщением.