Ритм вселенной. Как из хаоса возникает порядок - Стивен Строгац

Необходимость выполнения подобного условия не внушает оптимизма. На практике это означает, что ваш горизонт предсказуемости вряд ли удастся сделать большим, чем n, умноженное на время Ляпунова, причем n должно быть очень малым числом. В данном случае точность ваших измерительных приборов не имеет значения. Время Ляпунова задает горизонт, за пределами которого приемлемое предсказание становится невозможным. В случае хаотической электрической цепи такой горизонт составляет примерно тысячную долю секунды; когда речь идет о прогнозах погоды, точную величину горизонта указать невозможно, но примерно он может равняться двум-трем дням; а в случае Солнечной системы он составляет пять миллионов лет.

Столь внушительная протяженность горизонта в случае Солнечной системы[190] обусловливает то, что сегодня мы можем с высокой точностью предсказывать движения планет; в масштабах человеческой жизни или даже истории астрономии в целом эти движения действительно предсказуемы. Когда мы вычисляем, какими были относительные положения планет сто лет назад или какими они будут через сто лет, наши предсказания вполне достоверны. Однако у нас нет никаких оснований доверять прогнозам, касающимся относительного положения планет 4 миллиарда лет тому назад, в момент зарождения жизни на Земле.

Последним нюансом, касающимся хаоса, является странный вид порядка, скрывающегося за этим хаосом. Хаос не есть нечто бесформенное (вопреки, как было сказано выше, обыденному смыслу этого слова). Скрытый смысл структуры, лежащей в основе хаоса, проявляется в работе действующего макета водяного колеса с его бесконечной последовательностью вращений то в ту, то в другую сторону; несмотря на то что эта последовательность никогда не повторяется в деталях, в целом ее характер остается одним и тем же. В хаосе заложена некая сущность – качество, которое никогда не изменяется.

Когда в начале 1960-х годов Лоренц анализировал свою «маленькую модель», ему удалось силой собственного воображения уловить сущность подлинного хаоса. Он принимал вид некой геометрической фигуры, чего-то необычного, не вполне поверхности, но и не твердого тела, имеющего четкие очертания. Задолго до появления современной компьютерной графики такую фигуру было не так-то просто воспроизвести и визуализировать. Даже после того как Лоренц нарисовал ее в собственном воображении, ему было очень трудно подобрать слова, чтобы передать ее необычную геометрию. Он описывал ее как «бесконечное сочетание поверхностей». В наши дни это получило название «странного аттрактора»[191][192].

Точно так же как окружность является формой периодичности, странный аттрактор является формой хаоса. Он пребывает в неком абстрактном математическом пространстве, называемом пространством состояний, координатные оси которого представляют все переменные в некой физической системе. Уравнения Лоренца содержали три переменные, поэтому его пространство состояний является трехмерным. В случае водяного колеса – точного механического аналога уравнений Лоренца – одна из переменных говорит нам о том, как быстро и в каком направлении вращается это колесо, тогда как две другие переменные характерихуют два конкретных аспекта того, как распределяется вода по периметру колеса. Значения этих переменных в тот или иной момент определяют конкретную точку в пространстве состояний, соответствующую «фотографии» данной системы в этот момент времени.

В следующий момент состояние системы изменится в результате поворота колеса, а также вытекания и перераспределения воды. Увлекаемая своей собственной динамикой, система действует, переходя из состояния в состояние. Подобно схемам в уроках танцев Артура Мюррея, уравнения Лоренца – это правила, описывающие каждый ваш следующий шаг. Они определяют бесконечно малые стрелки в каждой точке пространства состояний. В какой бы точке ни оказывалось состояние системы, оно должно следовать за стрелкой в данной точке; эта стрелка сразу же переводит систему в следующую точку, где этот процесс повторяется, и т. д. Время идет, и значения переменных изменяются, точка перемещается в пространстве состояний, прочерчивая непрерывный путь, называемый траекторией, и летит, подобно комете в вымышленном мире, который существует лишь в воображении математика. Прелесть этой идеи заключается в том, что она трансформирует динамику в геометрию. Хаотическое движение становится некой картиной – чем-то таким, что мы можем увидеть, статическим образом, который мы можем рассматривать и изучать.

На что же похож хаос? Упомянутая нами траектория бесконечно долго бороздит просторы пространства состояний. Она никогда не завершается и не пересекает сама себя, поскольку хаос никогда не повторяется. Лоренцу удалось доказать, что его траектория никогда не выходит за пределы определенной большой сферы, поэтому она никогда не может уйти в бесконечность. Замкнутая внутри этой сферы, приговоренная бесконечно долго блуждать внутри нее, ни разу не пересекаясь сама с собой, эта траектория должна следовать очень сложным путем. Возникает соблазн представить ее в виде клубка, намотанного из бесконечно длинной нити и лишенного какой-либо структуры.

Но примитивная компьютерная графика, отображающая уравнения Лоренца, показала, что эта траектория подчинена строгой логике и замкнута лишь в крошечной части доступного ей пространства. Создается впечатление, что она натянута на некую поверхность – микроскопически тонкую мембрану, форма которой, по иронии судьбы, похожа на пару крыльев бабочки. Траектория «наматывается» вокруг одного из таких крыльев, удаляясь по спирали от центра. Затем, приблизившись к краю крыла, она устремляется к другому крылу и начинает вращение по спирали вокруг этого крыла. Переходя то к одному крылу, то к другому, траектория совершает вокруг каждого крыла непредсказуемое количество витков. Это очень похоже на то, как водяное колесо совершает непредсказуемое количество поворотов то в одном, то в другом направлении.

Пытаясь разобраться в картине, которую предоставил ему компьютер, Лоренц понял, что здесь что-то «не так». Он знал, что траектория не может быть привязана к какой-то определенной поверхности: в противном случае она обязательно должна была пересекать сама себя. Крылья бабочки могли бы быть похожи на единую поверхность, но они должны были бы состоять из бесконечно большого количества слоев, упакованных настолько тесно между собой, что их невозможно было бы отличить друг от друга, подобно пластинкам слюды.

Такое сочетание бесконечно большого множества поверхностей – этот странный аттрактор – воплощает в себе новый вид порядка. Несмотря на то что «маршрут» траектории непредсказуем в деталях, он всегда остается на аттракторе, всегда пролегает через одно и то же подмножество состояний. Такая узость репертуара представляет собой проявление порядка, заложенного в хаосе, и объясняет, почему его сущность всегда остается неизменной.