Удивительные числа Вселенной - Антонио Падилья

идет ω + 2, снова определяемое в терминах порядковых номеров, которые были раньше:

ω + 2 = {0, 1, 2, 3, …; ω, ω + 1}.

Кажется, что мы дотянулись до небес, добравшись до новой лестницы: от ω + 2 к ω + 3 и т. д., пока не найдем новый уровень неба в ω + + ω. Обычно это записывают как ω × 2 и определяют как множество

ω × 2 = {0, 1, 2, …; ω, ω + 1, ω + 2…}.

Мы можем продолжать подъем ко все более высоким небесам, вплоть до ω × 3 и ω × 4 и т. д., пока не дойдем до предела ω × ω, который наиболее здравомыслящие люди называют попросту ω2. Теперь мы достигли бесконечного количества уровней бесконечных небес. Но мы можем продолжать. Двигаясь так же, как и раньше, мы достигаем ω3, затем ω4 и в конце концов доходим до очередного предела — экспоненциально высокого неба, которое мы запишем как ωω.

Теперь включим ускорители.

После ωω мы можем представить восхождение все выше, и выше, и выше — к башне из степеней ω, которая имеет ω этажей высоты:

Как мы видели в главе «Число Грэма», такие башни удобнее записывать с помощью наших двойных стрелок, и мы получаем ω ↑ ↑ ω. Отсюда мы переходим к числу

затем к ω ↑4 ω и т. д., пока мы не достигнем еще одного исполинского предела, ω ↑ω ω — небесного левиафана, подобно Богу возвышающегося над всем, что было прежде.

А помните, как вы думали, что число Грэма — это очень большое число?

Но мы еще не закончили.

Самое забавное, что ω + 1 на самом деле не больше ω; оно просто идет следующим. Мощность соответствующего множества ω + 1 = = {0, 1, 2, 3, …; ω} по-прежнему равна

. Чтобы доказать это, вам просто нужно сопоставить элементы ω + 1 = {0, 1, 2, 3, …; ω} с натуральными числами. Это просто: вы сопоставляете ω и 0; 0 и 1; 1 и 2; 2 и 3 и т. д. Точно так же подъем до ω + 1 или даже до ω ↑ω ω приводит нас ко все более высоким бесконечностям, стоящим выше в списке, но не к большим бесконечностям. Все они имеют ту же мощность — алеф ноль, .

А потом это происходит.

На поистине невообразимой высоте Кантор показал, что должен существовать новый тип ординала, отличный от всего, что было прежде. Не очевидно, что он вообще должен существовать, но он существует. Кантор обнаружил, что большие бесконечности скрыты в континууме, во множестве всех действительных чисел, включающем рациональные, которые можно записать в виде дробей, и иррациональные числа, такие как √2, которые записать таким образом нельзя[159]. Математик продемонстрировал, что континуум находится за пределами нашего умения считать — один, два, три, четыре… Его мощность больше, чем алеф ноль.

Давайте спросим, сколько действительных чисел находится в континууме между 0 и 1. Понятно, что бесконечно много, но это алеф ноль или действительно что-то большее? Вот как это выяснял Кантор. Предположим, что континуум счетен и, следовательно, можно установить взаимно однозначное соответствие между числами из него и натуральными числами. Это значит, что мы можем записать все числа континуума в бесконечный список размера

. Порядок не имеет значения, так что мы просто начинаем перечислять все числа от нуля до единицы в случайном порядке:

0,12347348956792457…

0,34579479867439087…

0,73549874397493486…

0,42784508734067383…

0,54345689483459808…

…

Чтобы доказать, что континуум больше

, Кантор продемонстрировал, что этот список не может охватить все числа. Он выделил цифры, стоящие на диагонали:

0,12347348956792457…

0,34579479867439087…

0,73549874397493486…

0,42784508734067383…

0,54345689483459808…

…

Эти диагональные элементы образуют число 0,14585… Затем Кантор написал новое число, все цифры которого отличаются от этого числа на единицу. В нашем примере 0,14585… преобразуется в новое число 0,25696… Оно отличается от первого числа в списке, ведь у них разные первые цифры после запятой (по определению у нового числа первая цифра больше на 1). Оно отличается и от второго числа в нашем списке: у них разные вторые цифры после запятой. Оно отличается и от третьего числа — третьей цифрой после запятой. Фактически оно отличается от всех

чисел из списка! Следовательно, невозможно уложить все числа континуума в список размера , поэтому за континуумом скрывается какая-то большая бесконечность, как и представлял себе Кантор.

Существует ли способ систематически конструировать эти большие бесконечности, чтобы пройти путь за пределы

? Ответ — «да». Мы уже построили огромную башню бесконечных ординалов, имеющих размер , от ω = {0, 1, 2, 3…} и ω + 1 = {0, 1, 2, 3, …; ω} до ω ↑ω ω и даже выше. Их иногда называют счетными бесконечностями, потому что каждая из них на самом деле представляет собой множество чисел, для которого можно установить взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел — тех, которые мы используем для счета. Но что находится за пределами этой башни? Какой ординал находится в одном шаге за пределами счетных бесконечностей? Это омега один, ω1. По определению он не может быть счетным — для него нельзя установить взаимно однозначное соответствие с множеством натуральных чисел. Такой небесный гигант должен иметь новую мощность, новый размер: алеф один, . Эта бесконечность не просто выше. Она больше.

Как обычно, ω1 определяется как множество предшествующих ему ординалов. Иными словами, это полное множество счетных величин — от конечных крохотулек до наибольшей из счетных бесконечностей. Но от ω1 мы можем продолжить восхождение — к ω1 + 1 и даже выше. И снова они не обязаны быть больше, чем ω1, — они просто идут следом. Вдобавок ω1 + 1 также имеет мощность

, потому что можно установить взаимно однозначное соответствие с множеством счетных величин. А затем появится очередной уровень — ординал, выходящий за рамки мощности . Это ω2 — еще большее число с новой великолепной мощностью .

Полагаю, вам сейчас стало бесконечно тревожно из-за всего этого. В конце концов, даже