Ритм вселенной. Как из хаоса возникает порядок - Стивен Строгац

Идея Дункана поначалу не вызвала во мне энтузиазма. Связанные осцилляторы на регулярных сетках уже представляли собой задачу огромной сложности; эти же новые, гибридные сети были бы просто безнадежны. Впрочем, мне не хотелось с ходу отвергать инициативу Дункана.

Когда мы приступили к детальному обсуждению его идеи, я уловил ее глубинный, более универсальный смысл. Те же соображения обязательно должны были возникнуть при рассмотрении других видов динамических систем, а не только связанных осцилляторов. Когда нелинейные элементы оказываются связанными в гигантские сети, схема соединений элементов в таких сетях обязательно имеет значение. Вот базовый принцип: структура всегда влияет на функцию. Структура социальных сетей влияет на степень распространения информации и заболеваний; структура электросетей влияет на устойчивость систем передачи электроэнергии. То же самое относится к видам в экосистемах, компаниям на глобальном рынке, каскадам реакций ферментов в живых клетках. Структура сети должна оказывать огромное влияние на ее динамику.

Тем не менее, теоретики, как правило, предпочитали уклоняться от изучения проблемы связей, бросаясь из одной крайности в другую. Они принимали за основу либо нереалистично регулярную структуру, либо совершенно хаотичную систему связей. Например, в 1969 г. биолог-теоретик Стюарт Кауффман предложил идеализированную модель генных сетей[235], в которой каждый ген регулировался продуктами двух других, выбранных произвольно из остального генома, причем это объяснялось не тем, что он полагал, будто его модель соответствует действительности, а тем, что в 1969 г. никто не знал, как именно организованы связи в генных сетях. Предположение о произвольности связей равноценно гаданию на кофейной гуще: принятие нулевой гипотезы в отсутствие какой-либо информации. Эпидемиологи-математики зачастую прибегали к такой же аппроксимации: они предполагали, что инфицированные люди взаимодействовали случайным образом с людьми, восприимчивыми к инфекции, несмотря на то что в случае определенных видов заболеваний (особенно в случае заболеваний, передаваемых половым путем) сеть контактов никоим образом не может носить случайный характер. Подобно регулярным сетям, произвольные сети являются весьма соблазнительными идеализациями. Теоретикам они кажутся привлекательными не из-за их правдоподобия, а потому, что анализировать такие сети проще всего.

К 1996 г. осталось не так уж много ученых, готовых верить в правдоподобие регулярных и произвольных сетей. У каждого, кто пользовался интернетом, возникало ощущение, что интернет – это, с одной стороны, некая упорядоченная структура, а с другой стороны, некий запутанный лабиринт, где веб-страницы связаны главным образом с другими веб-страницами по той же теме, но время от времени способны вывести вас на маршруты, не имеющие ничего общего с вашими первоначальными намерениями. СПИД и вирус Эбола продемонстрировали, что инфекционные заболевания распространяются главным образом в изолированных и сплоченных сообществах, но также разносятся по всему миру на самолетах. Таким образом, не было ничего удивительного в том, что Дункан предложил отправиться на эту неизведанную территорию, в мир, находящийся на грани порядка и случайности.

Мы приступили к попыткам представить в наглядном виде сеть, находящуюся посреди порядка и случайности. Простейший подход заключался в том, чтобы взять регулярную сеть и плавно преобразовать ее в произвольную (что-то наподобие голливудского спецэффекта плавного преобразования одного лица в другое, как в известном видеоклипе Майкла Джексона «Черное или белое» (Black or White)). Например, выполнив такое преобразование примерно наполовину, мы могли бы выбрать половину первоначальных связей в какой-либо сети, удалить их и заменить их одинаковым количеством связей, разбросанных между произвольными парами узлов. В результирующей сети будет такое же количество связей, что и в исходной, однако теперь сеть будет наполовину произвольной и наполовину регулярной. Или, вместо того чтобы переустанавливать половину связей, мы могли бы выбрать любое другое соотношение между регулярными и произвольными связями. Задавая любую желаемую нами долю переустанавливаемых связей, мы могли бы постепенно настраивать свою сеть от 0 (первоначальная, исходная сеть, в которой количество переустановленных связей равняется 0) до 1 (полностью переустановленные, произвольные связи). Все, что находится между этими полюсами, представляло бы собой настраиваемое сочетание того и другого.

В качестве конкретного примера рассмотрим 6 миллиардов узлов, расположенных по окружности. Эти узлы могут представлять компьютеры, нейроны, людей – то есть компоненты, из которых состоит рассматриваемая нами сеть. Предположим, что каждый узел сети соединяется с 1000 соседних узлов: 500 узлов слева и 500 узлов справа. Это чрезвычайно упорядоченная сеть, идеально симметричная кольцевая структура. На этой стадии коэффициент настройки равен 0 (регулярный край спектра). Теперь начнем выполнять преобразование, медленно поворачивая ручку настройки от 0 в сторону 1. Несколько связей оторвутся от мест своего крепления и переустановятся случайным образом в других местах. По мере продолжения этой метаморфозы все большее и большее количество связей будет переустанавливаться случайным образом в других местах, нарушая таким образом симметрию исходной кольцевой структуры, в то же время оставляя неизменной какую-то ее часть.

Для количественной оценки изменяющиеся архитектуры этой сети мы ввели два статистических показателя. Один из них, «средняя длина пути», формализует интуитивное представление о степенях отчуждения. Чтобы вычислить этот показатель, нужно взять какую-либо пару узлов и подсчитать количество связей в кратчайшей цепочке между ними, а затем повторить эту процедуру для всех остальных пар узлов и усреднить результирующие длины цепочек.

В случае первоначальной кольцевой структуры такое вычисление не представляет серьезной проблемы, особенно если вооборазить такую сеть как некое общество, где каждый узел представляет какого-то человека, а связи представляют дружеские отношения между людьми. Этот воображаемый мир («кольцевой мир») несколько похож на наш реальный мир в том отношении, что количество элементов в том и другом случае равняется 6 миллиардам. Однако во всех остальных отношениях эти два мира совершенно непохожи. Обитатели нашего воображаемого мира вынуждены жить в условиях очень жестких ограничений: они должны стоять плечом к плечу, расположившись по огромному кругу. Допустим, каждый человек обязан дружить с 500 людьми, расположенными по правую руку от него, и с 500 людьми, расположенными по левую руку, – и ни с кем больше. В таком мире не было бы шести степеней отчуждения – в нем было бы целых 3 миллиона степеней отчуждения!

Чтобы понять, почему так, рассмотрим длину пути между вами и самым отдаленным от вас («диаметрально противоположным») человеком в кольце. Чтобы добраться до него по кратчайшей цепочке, вы должны послать какой-то сигнал своему 500-му другу (то есть ближайшему к «диаметрально противоположному» вам человеку в кольце). Кратчайшим путем от него до интересующего вас человека опять-таки будет его 500-й друг, и так далее, каждый раз совершая прыжок длиною в очередные 500 человек. Таким образом, чтобы совершить все это путешествие, придется выполнить 6 миллионов «прыжков» (3 миллиарда, поделенные на 500 шагов). Впрочем, в данном случае речь идет о самом удаленном от вас человеке. Когда же вам нужно добраться до самой близкой цели – человека, стоящего рядом с вами, – требуется лишь один шаг. Таким образом, в среднем расстояние между вами и «типичным» человеком составляет примерно 3 миллиона рукопожатий, 3 миллиона степеней отчуждения.